行列

【命題】任意の行列Aに対して、AB=BAかつすべての行列に対して
交換可能ではない行列Bが存在する。

この命題は真でしょうか？偽でしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/23 20:20

真です。

一瞬戸惑いますが、∃B,∀A,… じゃなく、∀A,∃B,… の意味ですよね。

A と可換な行列の例として、A のスカラー係数多項式で表される行列
が挙げられます。(実は、ソレで全てなのですが、そのことは、
今回は使わないので、証明の手間を避けるため、伏せておきます。)

A が単位行列のスカラー倍でなければ、A の多項式の中には
単位行列のスカラー倍ではないものがありますから、それを B とすれば、
任意の行列とは可換ではありません。

A が単位行列のスカラー倍であれば、単位行列のスカラー倍でない行列の
中から B を好きに選ぶことができて、任意の行列とは可換ではありません。

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2013/02/23 19:56

ひっかけ問題に見えます。

「すべての行列に対して交換可能ではない行列B」

というのが、

[1]　　B と交換可能な行列が存在しない
[2]　　B と交換可能でない行列が少なくとも１つ存在する

のどちらを意味するのか明確でありません.。 [1] なら偽。 [2]なら、２次以上の正方行列を対象にしているという前提で、真。

この回答への補足

問題の書き方に語弊がありました。申し訳ありません。
『［２］のBと交換可能でない行列が少なくとも１つ存在する』
が正しいです。
また、２次以上の正方行列というのも書き抜かっていました。

補足日時：2013/02/23 20:08