京都大学経済学研究科 平成23マクロ経済問題

海外との取引のない閉鎖経済を考える。代表的消費者は2期間存在し、効用関数U(c1,c2)を最大化する。ｃ１、ｃ２は消費である。所得は１と2期に外生的にｙ１とｙ２として与えられている。一括税はｔ１とｔ２である。政府は1期にｇ１支出し、ｔ１税収得て、不足分を国債発行で賄う。2期に税収ｔ２によって、g2支出と国債償還を行う。初期時点の国債残高は０で、2期にすべてを償還する。1期の国債発行残高はｂ、市場実質利子率はｒ。この経済に投資活動は存在せず、財は貯蓄できないもととする。
１）政府の異時点間予算制約式を書きなさい。
g1+g2/(1+r)=t1+t2/(1+r)だと思います。
２）家計の最適化のための一階条件を書きなさい（解は内点解とする）
家計の予算制約式で迷いました。家計数Nとして、y1-t1/N=c1, y2-t2/N=c2 （？）

ｇ１、ｇ２は事前に確定されており、政府は予算制約式を満たすようにｔ１とｔ２を動かす。効用関数をU=sqrt(c1)+sqrt(c2)とする。
３）ｙ１＝１１０、ｙ２＝１３０、ｇ１＝１０、ｇ２＝９として、均衡利子率を求めよ。
４）政府は1期にｔ１を減少させ、それに伴う税収の不足を国債発行で賄う。ｃ１はどう変わるか？
５）ｇ１の増加が市場利子率に与える効果とｇ２の増加が市場利子率に与える効果を比較しなさい。その結果の経済学的解釈を簡潔に述べなさい。

以上です。

No.1 ベストアンサー 回答者： statecollege 回答日時： 2013/02/26 19:35

1)　代表的主体モデルでは、主体の数を１に標準化すると以下に見るように便利です。

１期と２期の税をt１、t2とし、政府支出をｇ1、ｇ2、１期に発行し、２期に償還する国債をBとすると 政府の予算制約は
　　　　　　g1 = t1＋B
g2+(1+r)B = t2

となる。両式からBを消去すると、あなたが導いたように

　　　　　g1+ g2/(1+r) = t1 + t2/(1+r)　　　　　　　　　　(1)

を得る。

2)　家計の最大化問題は

　　　　　　max U(c1,c2)

s.t. c1+ c2/(1+r) =( y1-t1) + (y2-t2)/(1+r)　　　　　　(2)

で与えられる。ｔ１、ｔ２は経済全体の1期、2期の課税額であると同時に、主体の数が１に標準化されているので、代表的主体の1期、2期の課税額でもある。（なぜなら代表的主体の1期の課税額＝全体の1期の課税額÷主体の数＝t1÷1＝t1だからだ。t2についても同じ。）
(1)を導くためには、

　　　　　c1＋B = y1 - t1
c2 = y2-t2 + (1+r)B

からBを消去すればよい。　このBも政府の国債発行額であるとどうじに代表的主体の国債購入額でもあるのは、t1、t2の場合と同じだ。異時点間効用最大化の一階の条件は、通常の2財の世界の効用最大化問題と同じだ。第1財と第二財の限界代替率＝第1財の第2財の相対価格、すなわち、

　　　　　MRS(c1、c2) = 1+r

あるいはMRS= U1/U2だから

　　　　　U1/U2 = 1+r　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）

となる。1+rは1期財の2期財の相対価格を表わしていることは、(2)式より1期財の価格を１とすると、2期財の価格は1/(1+r)　であることに注意しなさい。（なお、U1はc1についての限界効用∂U/∂c1を表わし、U2も同様であることはいうまでもない。）　　　　U(c1,c2) = √c1+√c2
ならば、
　　　　MRS = √c2/c1

を（3）に代入し、
　　　　√c2/c1 = 1+ r (4)

あるいは両辺を２乗して
　　　
　　　　c2 = (1+r)^2・c1　　 (4')

を得る。効用最大化の1階の条件としては、（4）あるいは（4'）を書くか、（4）あるいは（4’）および予算制約（2）を書けばよい。

3)まずc1,c2を需給均衡条件（マーケット・クリアリング条件）を用いて求める。

　　　　c1 + g1 = y1 (5)
c2 + g2 = y2 (6)

が成り立つから、与えられた数値を代入することによって

　　　　c1 = 110－10 =100
　c2 = 130 – 9 = 121

を得る。これらを(4)に代入して

　　　　√121/100 = 1+ r
11/10 = 1+ r
r = 0.10

すなわち、利子率は10%である。

４）(5)式と(6)式を見てください。ｔ１とｔ２は(5)、（６）に入っていない。ということは、ｔ１を減少させて、Bを増やしても、消費には何の影響も与えない（リカードの等価性あるいは中立性という現象）。

5)もう一度(5)と(6)を見てください。ｇ１を増やすとその分だけc1が減る（ｃ２は変わらない）。すると、(4)を用いると、(4)の左辺は増加するので、右辺も増加する、すなわち利子率は上昇する。ｇ２が増えると、(4)の左辺は減少するので、逆の現象が起こる、すなわち、利子率は下落する。

この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございました！本当に助かりました：）

お礼日時：2013/02/27 14:41

No.2 回答者： statecollege 回答日時： 2013/02/26 19:50

No1の訂正

(2)式の前のs.t.はsubject toの意味。

　　　　U(c1,c2)

s.t.

　　　c1 + c2/(1+r) = (y1-t1) + (y2-t2)/(1+r)

と直す。また、
「（１）を導くためには・・・⇒（２）を導くためには」と直す。
「第1財の第2財の相対価格⇒第1財の第2財に対する相対価格」と直す。