【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

x dx/dt =tのとき、
xdx=tdt
が成り立つのは何故ですか?
また、
x dx/dt =tのとき、∫とdtを両辺につけると、約分のように/dtが消え
∫xdx=∫tdt
となるのは何故ですか?
出来れば教えてください

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dt 意味」に関するQ&A: d^2r/dt^2の意味

A 回答 (2件)

ああ、これは失礼。


(d/dt) F(g(t)) = F'(g(t)) g'(t) と書かなきゃね。

これを t で積分すると
F(g(t)) = ∫ F'(g(t)) g'(t) dt で、

f(x) = F'(x), x = g(t) と置けば
∫ f(x) dx = F(x) = ∫ f(g(t)) g'(t) dt.
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この回答へのお礼

そういうことだったんですね
分かりました
ありがとうございました

お礼日時:2013/04/27 08:34

x dx = t dt で考えようとすると、


dx/dt や dt/dx でない dx や dt の意味を理解せざるを得ず、
話の難易度がかなり上がってしまう。
積分して、∫ x dx = ∫ t dt で考えたほうが無難。

置換積分を考えるだけなら、
合成関数の微分 F'(x) = F(g(t))g'(t) を積分した
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt で理解するほうがよい。( f(x) = F'(x) )
これを f(x) = x = g(t) の場合に適用すれば、
∫ x dx = ∫ x (dx/dt) dt が導ける。

よって、x dx/dt = t となる x, t に対しては
∫ x dx = ∫ t dt だという訳。

この回答への補足

置換積分で例えば∫[0~2]√(1-x^2)dxという問題を解くとき、
x=sinθと置いて、両辺をxかθで微分し1=cosθ dθ/dx
両辺にdxかけてdx=cosθdθだから、とやっていたのですが、実際はかなりかけ離れた難易度のことをやっていたんですね


合成関数の微分 F'(x) = F(g(t))g'(t) を積分した
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt
とあるのですが、両辺xで積分すれば
f(x) = ∫f(g(t))g'(t)dx
となり、tなら
∫F'(x)dt = ∫F(g(t))g'(t)dt
と、合わないのですが何で積分したのでしょうか?

補足日時:2013/04/26 21:24
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数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
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Q積分計算のdtとdxの違いがわかりません。

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Aベストアンサー

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ!

dxはxについて積分しろ!

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明されました。日本では当然、日本語表記です。

でも∫とd(多分definiteの略)だけで、表すのが一番シンプルで分かりやすいからこれが普及したんじゃないですかね。∫の上と下に積分範囲を書くという直感的に分かりやすい記法ですし。

ほんとは、数学なんて解ければいいんですよ。でも、今使われている数学の表記は長年の歴史で洗練されているから使いやすいのはお墨付きって事です。後、自己流の表記を導入すると論文書くときにいちいちその表記の定義を説明しなくちゃならなくて、読む方も読みづらいと思う。下手するとそこで落とされるんじゃんじゃないですかね。数学の論文は書いたことないから分からないけど。

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Q微積分 dの意味

∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合
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Aベストアンサー

微分とは限りなく小さい範囲のものを考えていく関数の為、
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それらを関数の中ではデルタの頭文字dを使い、dxやdtと表しているのです。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
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それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
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Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
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また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q微分方程式の定数変化法の問題について

この写真の
185.186(1).187(1),(2)が本当によくわかりません。

どうか教えて下さい。

Aベストアンサー

185

dx/dt=(tx-2x^2)/t^2 (1)

⇒ dx/dt+2(x/t)^2=(x/t)

dx/dt+2(x/t)^2=0の解を求める。

dx/dt=-2(x/t)^2 ⇒ -dx/x^2=2dt/t^2

両辺積分して

1/x=-2/t+c ⇒ x=t/(ct-2) (2)

定数変化法によりc=c(t)として(1)の解を求める。

x,dx/dt=-(2+c’(t)^2)/(ct-2)を (1)に代入

-(2+c’(t)^2)/(ct-2)=1/(ct-2)-2/(ct-2)^2 ⇒ c’t+c=2/t ⇒ d(ct)/dt=2/t

⇒ ct=2log(t)+d

(2)に代入

x=t/(2logt+d-2)

初期条件 t=1,x=1 を用いて d=3

x=t/(2logt+1)


186

dx/dt+3x/t=1/t+1 (1)

dx/dt+3x/t=0の解を求める。

dx/x=-3dt/t ⇒ logx=-3log(t)+c ⇒ x=ct^(-3)

定数変化法によりc=c(t)として(1)の解を求める。x=c(t)t^(-3)を(1)に代入

c’t^(-3)+c(-3)t^(-4)+3ct^(-4)=1/t+1 ⇒ c’=t^2+t^3

c=t^3/3+t^4/4+d ⇒ x= c(t)t^(-3)=1/3+t/4+d/t^3


187(1)

dx/dt-2tx/(t^2+1)=t^3+t (1)

dx/dt-2tx/(t^2+1)=0の解を求める。

dx/dt=2tx/(t^2+1) ⇒ dx/x=2tdt/(t^2+1)=d(t^2+1)/((t^2+1)

⇒ logx=log(t^2+1)+c ⇒ x=d(t^2+1)

定数変化法によりd=d(t)として(1)の解を求める。x=d(x)(t^2+1)を(1)に代入

d’(t)(t^2+1)+2dt-2dt(t^2+1)/(t^2+1)=t^3+t ⇒ d'=t ⇒ d=t^2/2+e

x=(t^2+1)(t^2/2+e)

初期条件 t=0,x=0 を用いて e=0

x=(t^4+t^2)/2


187(2)

dx/dt+2tx=2te^(-t^2) (1)

dx/dt+2tx=0の解を求める。

dx/x=-2tdt ⇒ logx=-t^2+c ⇒ x=de^(-t^2)

定数変化法によりd=d(t)として(1)の解を求める。x=d(x) e^(-t^2)を(1)に代入

d’e^(-t^2)-2tde^(-t^2)+2t de^(-t^2)=2te^(-t^2) ⇒ d’=2t ⇒ d=t^2+f

x=( t^2+f) e^(-t^2)

初期条件 t=0,x=1 を用いて f=1

x=( t^2+1) e^(-t^2)

185

dx/dt=(tx-2x^2)/t^2 (1)

⇒ dx/dt+2(x/t)^2=(x/t)

dx/dt+2(x/t)^2=0の解を求める。

dx/dt=-2(x/t)^2 ⇒ -dx/x^2=2dt/t^2

両辺積分して

1/x=-2/t+c ⇒ x=t/(ct-2) (2)

定数変化法によりc=c(t)として(1)の解を求める。

x,dx/dt=-(2+c’(t)^2)/(ct-2)を (1)に代入

-(2+c’(t)^2)/(ct-2)=1/(ct-2)-2/(ct-2)^2 ⇒ c’t+c=2/t ⇒ d(ct)/dt=2/t

⇒ ct=2log(t)+d

(2)に代入

x=t/(2logt+d-2)

初期条件 t=1,x=1 を用いて d=3

x=t/(2logt+1)


186

dx/dt+3x/t=1/t+1 ...続きを読む


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