行列ノルムの不等式

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質問者：hohoho1010
質問日時：2013/05/02 16:01
回答数：2件

シュワルツの不等式を用いて次の式を証明せよ
||AB||≦||A|| ||B||
という問題を解いてほしいのです。
AやBがベクトルならばそれほど難くないのですが、行列になっていてよくわかりません。
よろしくお願いします。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： alice_44
回答日時：2013/05/03 21:20

フロベニウスノルムの話であれば…

AB のノルムの 2 乗は、AB の各成分の 2 乗和。

AB の各成分は、A の行ベクトルと B の列ベクトルの内積だから、
これにシュバルツの不等式を使おう。
AB の i 行 j 列成分の 2 乗 ≦ (A の i 行の長さの 2 乗)(B の j 列の長さの 2 乗)。

これを総和して、右辺を因数分解すれば、
AB のノルムの 2 乗 ≦ (A のノルムの 2 乗)(B のノルムの 2 乗)。
両辺の √ をとれば、与式となる。