直線の正確な定義を教えてください。

直線の正確な定義をお分かりの方、教えて戴ければと存じます。

辞書で「直線」を引くと、

「まっすぐな線、二点間の最短距離を与える線などであるが、厳密にはユークリッド空間、アフィン空間、射影空間では一次元の部分空間をいう。・・・」

などのように定義されているのですが、
この定義では数学を専門に研究されている方でないと分からないと思いますし、
私も分かりませんでした。

より一般的で分かりやすい形で定義を説明できる方がいらっしゃれば、ご説明宜しくお願い致します。

具体的には、高校数学の１Aレベルまでの知識や理解力でも分かる範囲で
ご説明くださればと存じます。


また、笑われてしまうことを覚悟で書きますが、

私は「二点間の最短距離」という言葉から、直線の定義がなんとなくは分かったのですが、
後の方に「次元」の話も出てきたので、思わず「四次元空間におけるワープ」も連想してしまい、
その場合、「二点間の最短距離」は必ずしも「二点間を結ぶ直線」ではなくなるのではないかと考えてしまい、直線の意味がよく分からなくなってしまいました。

「ワープ」が現実的には極めて困難であることは私でも知っておりますが、
現実性の問題ではなく、理論的には「二点間の最短距離」がなぜ直線の代表的定義となっているのかも、あわせてお教え下さればと存じます。

ちなみに、私は「ワープ」は「四次元空間」においてのみ存在する移動手段であり、
「三次元」以下の世界を前提とする限り、
「二点間の最短距離」となりうるのは、点と点の間の直線以外にはありえないからだと
自分なりに答えを出してみましたが、これは客観的には正しいでしょうか？


また、私は直線を
「二点を結ぶ線上の任意の点を複数選び、それぞれにおける角度をとった時、各々全てが等しい角度となるような曲線」
だと考えましたが、この理解で正しいでしょうか？


質問は以上です。
宜しくお願い致します。

No.7 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2013/05/12 01:35

Ｎｏ．１です。

えっと、書き直されている部分ですが、

基本的にダイジョウブだと思います。

ちょっと注意してもらわないと危ないのは、平面上　としておかないと

平行の定義ができません。

線分か曲線か　ですが（Ｎｏ，２）さんがあげてありますが、

ちょっと微妙で、どちらかといえば線分のほうがいいでしょうが、

曲線でもダイジョウブだとは思います。

Ｎｏ．５，６さんが書かれてあることも、間違いではないんですよ。

むしろ正しいのです。　この場合は逆を考えているような形なんですね。

平行、なす角　そういったものを使って、線分が直線であるというのを

証明しようとしている状況に近いかと思います。

直線の定義が先に無いと、平行線が定義できませんからね。

ＷＩＫＩで構わないと思いますから、数学上では

「ユークリッド幾何」で検索かければ、直線の定義は出てくるはずです。

これをもって数学的定義としてあげた方がいいと思います。

　ちなみに、「２点間を結ぶ最短の線分、またはその延長線」となっているはずです。
　第一公理じゃないかな？

これは平面ですけれどね。後は曲面への拡張、３次元への拡張、高次元への拡張。

数学のいいところは、分からなくなったら、分かるところまで戻ればいいんですよ＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

いろいろなアドヴァイスやご意見もありがとうございます。
とても勉強になりました。

視野を広く持ち、様々な意見にも耳を傾けて
勉強を続けようと思います。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2013/05/12 23:16

No.8 回答者： uyama33 回答日時： 2013/05/12 07:59

どんな場所で考えるかでいろいろ変化するので考える場所の設定が無い形での直線の定義は難しい。

１．平らな平面の中で考える。
２．球面上で考える。

につい考える場合は、
１の世界では、最短　と　まっすぐ　は一致します。この場合は線分や直線の定義がしやすい。
２の世界では、球面の上だけを移動できると言う条件の下では、２点を結ぶ最短曲線は球の中心と
与えられた球面上の２点を通る平面と、もとの球面の共通部分です。（大円の弧）

もし、地下鉄のようなものがあれば、球面上の２点を結ぶ直線が得られますが、地下鉄での移動が出来ないならば、最短コースは球面上に描かれた曲がった曲線になります。これが球面上での最短コース。
もっと困るのは、まっすぐなものは球面の世界には入らない。例えば接線は１点でしか球面と接しないで
すぐに球面からはみ出す。
球面の世界での次元の定義は面倒になる。（リーマン幾何とかでてくる。）

そこで、正確な定義にするために、空間についていろいろ条件をつけて考えます。
変な空間の中でも、平面上の直線のイメージに近いものをあるいはその性質の一部が共通なものを
その世界の直線と呼んでいるのです。

私たちのすんでいる空間が、数学的な３次元ユークリッド空間の性質を持っているかどうかは
私には分かりません。私は、超準解析の世界が、私たちのすんでいる実際の世界のモデルに近いのではないかと思っています。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時：2013/05/12 23:18

No.5 回答者： nag0720 回答日時： 2013/05/11 21:51

＞「同一曲線上にある任意の点を複数（便宜的に3点）選び、それぞれの点をA,B,Cとする。

＞A,B,Cのそれぞれ1点ずつ含み、かつ互いに平行となるような線をひく。
＞・・・・・・・・・・
＞その角度が各々等しいとき、
＞A,B,Cの3点が含まれる同一曲線は直線であると言える。」

「平行」ってなに？
「角度」ってなに？
「直線」を定義するのに、「平行」とか「角度」とか使っちゃいかんでしょう。

それとも「平行」「角度」を「直線」を使わずに定義できる？

この回答への補足

　

補足日時：2013/05/11 22:26

No.4 回答者： graphaffine 回答日時： 2013/05/11 16:42

高校レベルでの質問と見受けられますので、その観点から言えば、直線とは1次方程式(により表される図形)です。

また、大学以上ならば、空間により異なる、としか言えません。

高校で扱う幾何学は、座標の入った空間だけを扱うので上の定義で十分です。が、大学以上になると様々な空間を扱いますのでその空間により直線の定義は変わりますし、そもそも直線とは曲線の一種を便宜的に呼称しているだけですから、直線が存在しない場合もあります。

ワープとは数学でなく物理の話で、扱う空間も異なるのでこれについては触れません。

数学用語の正確な定義を求めるならば、国語辞典でなく、数学用語辞典を見ましょう。
まっすぐとはどういうこと、線とは何、等数学的な厳密性に欠けます。
それから、一般的には角度が測れるかどうかわかりませんし、二点を結べるかどうかも分かりません。そのような議論がしたければ、そのようなことができるような空間を考えるのが数学的な立場です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時：2013/05/12 00:42

No.3 回答者： k_kota 回答日時： 2013/05/11 11:29

まあ、最短の距離でいいでしょうね。

＞「二点を結ぶ線上の任意の点を複数選び、それぞれにおける角度をとった時、各々全てが等しい角度となるような曲線」

確かに角度がどの角度の定義なのか不明です、また、曲線ではなく線分とすべきでしょう。
直線の一般的な定義を求める時点で一般じゃないような気もします。

ワープを想定してますけど、それはワープが起こったり定義された時に考えればいいのではないでしょうか。

真っ直ぐな線で困るパターンがあるなら、それについて質問した方が実用的かと思います、必要なレベルに応じて知識はつければいいのです。

この回答への補足

ご意見ありがとうございました。

「直線の一般的定義を求めること自体が一般的ではない」とおっしゃるのであれば、その根拠は何なのでしょうか？

すなわち、「直線の一般的定義を求めること自体が一般的ではない」といえることが自明である理由です。

補足日時：2013/05/11 22:47

No.2 回答者： maiko0318 回答日時： 2013/05/11 05:17

数学上では定義されていないんじゃやなかったかな。

線：点の集まり。
面：線の集まり。
球：一点からの距離が等しい点の集まり。

ですが、点の大きさは０ですので集まっても線や面や球はできません。
という矛盾をはらんでいます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時：2013/05/12 00:42

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2013/05/11 01:41

幾何の専門家が来てくれたほうがよりいいだろうけれど。

代数学屋が軽く。

「二点間の最短距離を示す線分、またその延長」を直線と呼ぶ。

なんだかんだいって、これが早いと思います。

特殊な空間に置いては、それが通用しなくなる？ってだけです。

通常のユークリッド平面、ユークリッド空間（３次元直行空間）とかなら、

上の定義で何も問題ありません。


ワープって言う、すこしＳＦチックなものは、３次元でも起こりえますし、

場合によっては、２次元でも起こすことは可能。

こういうのが無い状況　と考えておいた方がいいと思いますけれどね。
　＃ブラックホール　だったり、光が曲がる　など
　＃そういうのが考えられる状況（曲面）でおこるはずですから。


＞「二点を結ぶ線上の任意の点を複数選び、それぞれにおける角度をとった時、
＞各々全てが等しい角度となるような曲線」

ん？ちょっと・・・。　角度というのが何に対しての角度か？
っていうのが残るかもしれませんね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

紙を一枚用意してください。
４隅の対角に当たるところに印をつけてください。
その印を、引っ付けるように、折って下さい。
と距離は０ですね。それがワープです。
　＃ってことで、平面上でできますから、３時限空間で出来るわけです。

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます。

ワープの起こり得る「次元」が二次元や三次元でもありうるというご説明、とても分かりやすかったです。
ありがとうございました。

私が考えている「直線」の特徴の説明の「角度」の件なんですが、
ご指摘を受けて以下のように直してみましたが、どうでしょうか？

「同一曲線上にある任意の点を複数（便宜的に3点）選び、それぞれの点をA,B,Cとする。
A,B,Cのそれぞれ1点ずつ含み、かつ互いに平行となるような線をひく。
A,B,C3点が含まれる同一曲線と
A,B,Cの各1点ずつが含まれる互いに平行な線とが
なす角をとり、
その角度が各々等しいとき、
A,B,Cの3点が含まれる同一曲線は直線であると言える。」

間違いはないでしょうか？
ご添削下さればと存じます。

宜しくお願い致します。

補足日時：2013/05/11 12:10