一次変換 線形変換

行列
A= 1 -4
　　 4 1
で表される線形変換がありその変換で　円　x^2+y^2=1はどのような図形に写されるか求める問題で、
(x')=(1 -4 )(cost)
(y')=(4 　1 )(sint)
より
(x')^2+(y')^2=17
よって　x^2+y^2=17と解答ではそうなっています。
costやsintはどこから来たのでしょうか？
Aが直交行列だからなのですか？

もうひとつ
B=1 -2
　 -2 4
の場合の答えを教えてください。
Aのようには解けないので困ってます。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/20 14:33

cosθ, sinθ については、A No.1 にある通り。

これは、x^2 + y^2 = 1 のパラメータ表示です。

A での変換は、A に逆行列があることから、
転置(x',y') = A 転置(x,y) を
(x,y) = (A^-1) 転置(x',y') と変形して、
x^2 + y^2 = 1 ヘ代入してもいいけどね。

B での変換は、非可逆なので、パラメータ表示が
真価を発揮する所だけれど、A No.1 は
残念ながら、間違い。
像は、直線ではなく、線分です。
cos(t) - 2 sin(t) の値域を、求めてみて。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/05/20 17:51

NO.4です。

Bが正則でないことを見落としてました。
申し訳ない。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/05/20 16:32

この問題を解く前に、陰関数表示とパラメトリック表示を

習っていると思いますので、復習しておきましょう。

cos(t)やsin(t) はもちろん、線形変換の式の形から明瞭なように

x=cos(t), y=sin(t)

から来ています。これは円(x^2+y^2=1)のパラメトリック表示です。

Bの逆行列がわかれば cos(t)とsin(t) は x', y' で表すことが
できます。それを恒等式 cos(t)^2 + sin(t)^2=1 に入れれば
よいと思います。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/20 00:30

>costやsintはどこから来たのでしょうか？

>Aが直交行列だからなのですか？
違います。
円:x^2+y^2=1…(1)の円周上の任意点(x,y)の座標は
(x,y)=(cos(t),sin(t))
だからです。これを列ベクトルにして,
線形変換行列Aを掛ければ、(1)で表される円の線形変換後の曲線上の対応する点の座標(x,y)が得られるということです。

線形変換の行列Bに対しては
[x]
[y]
=
[ 1,-2][cos(t)]
[-2, 4][sin(t)]
=
[ cos(t) -2sin(t)]
[-2cos(t)+4sin(t)]

線形変換後の対応点の座標(x,y)は行列を座標に直せば
x=cos(t) -2sin(t)
y=-2cos(t)+4sin(t)
2式から 2x+y=0　…(2)

従って円(1)を行列Bによる線形変換により直線(2)に写像されます。

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2013/05/20 00:14

えっと、どうしたものかねぇ。

高校じゃないと思うけれど。

高校でここまでやるかな？

高校生なら、仕方ないかな。大学生だと、危機感は持ってくれるかな？

全く意味がわかっていないようなから。

二次元の線形変換でしかないから、冷静に見てくれればいいけれど。

元々の形は、どんなだった？

それ考えたら、　ｃｏｓｔ　も　ｓｉｎｔ　もあっさり分かるはずなんだけれど。

原点を中心として、半径１の円周上の点。　これを変換すればいいね？

ｘ座標に該当するものは、ｃｏｓｔ　

（いま、ｔの定義がされていないから、丸投げっぽいんだよ？）でいけないことがあるか？

おなじく、ｙ座標に該当するものを　ｓｉｎｔ　と表してはいけないか？

これだけでしかないんだよ？　直行行列は関係ないよ。

Ｂの場合は、元の図形が分からないから答えようが無い。

同じ図形ならば、同じことをやればそれでよろしい。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)