群Gの元ａの位数

35歳すぎにして、代数学の初心者です。
代数における群Gの元aの位数の意味がよくわかりません。位数って群の元の数ですよね？ってことは、元aが位数を持つということは、元aも群だということなのでしょうか？元aは群Gの部分群でないと、元aは位数を持たないのでしょうか？
これがわからないので、「群Gの元aの位数がmnならばa^nの位数はmであることを示せ」などといわれても、ちんぷんかんぷんです。
どなたか、判りやすく教えていただける方がいましたら、よろしくお願いいたします。

No.9 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/03/26 14:23

＃４です。

補足に対して少しお答えします。
群に入っている演算は何でもいいわけですが
乗法が分かりやすいし、よく説明に使われると思うので
（質問にａ＾ｎという表現もあることですし）
乗法で話をします。

群は演算に関して閉じています。
だからａがあればａを何回か掛けてできる数は全部入って
いなければいけません。

よってａ＾ｎはＧに入っています。（当然ｎは自然数）
Ｇの位数が有限ならａ＾ｎはどこかで繰り返しにならないとＧの位数より個数が増えてしまいます。
証明は難しく無いですが略します。感覚的にはわかってもらえると思います。

だからａ＾ｎ＝ｅ（単位元）となるｎが存在するといえる
わけです。１回繰り返しになれば後はその倍数で繰り返し
になりますので「最小の」と断ったのです。

（乗法の例
１のｎ乗根a^n=1乗法の単位元

加法でいえばａ，２ａ，３ａ・・・・，ｎａ＝０加法の単位元
となります。例：割り算したときの余り）

この回答への補足

お礼を言いついでに、もうひとつ質問したいと思います。もし、お時間がございましたら、回答してください。
今回は、私の最初の質問中で積演算に言及していたので積を例に説明したということですが、実際、書籍などの説明でも積を用いているものがほとんどのようです。これにはなにか理由があるのでしょうか？もしあれば、ご教授ください。時間があるときでかまいませんので、よろしくお願いいたします。

補足日時：2004/03/27 17:12

この回答へのお礼

なるほど。さすが、専門家の方だけあって、ojamanbo さんは、説明がお上手です。理解しました。（と、思いたい（笑））
どうも、ありがとうございました。

お礼日時：2004/03/27 17:06

No.11 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/03/27 23:27

＃９の補足です。

積が群の例に使われるのは実際に実数や複素数が
乗法について群になるからでしょう。

特に有限群を考えるとき
複素数で乗法なら１のｎ乗根を使えばすぐ例が作れます。

加法でも群になるわけですが、
加法にすると有限群は剰余類（ｎで割ったときの余り）
などを考えないといけないので少し厄介になります。
（これはこれで大切なんですけど）

No.10 回答者： graphaffine 回答日時： 2004/03/27 14:47

beni-gombeさん、こんにちは。

#2に誤りがあり、それによりbeni-gombeさんが混乱されたようですので指摘させてもらいます。

#2にあるように、位数と言っても群の位数と元の位数では、対象が違うので当然定義も違います。

定義１　群の位数は群の要素の数。
定義２　群Gが与えられたとき、その元ａの位数とは、
　　ａで生成される巡回部分群の位数。

残念ながら、#2では定義２の最後の位数と言う言葉が抜けていました。
上の書き方では定義２で定義１を利用しています。が、次の書き方では、定義１と独立に元の位数を定義できます。
定義２’元ａの位数とは、ａ＾ｎ＝ｅ（単位元）となる最小の整数。

但し、この場合はこのようなｎが確かに存在することを確かめておく必要があります。

貴兄が言われる群とは有限群だけですか、それとも無限群を含みますか。それにより、若干ｎの存在の確認方法が変わります。

＞また、a^nのnに対する制限はどうなっているのでしょうか？上記の例からは、なんとなく自然数のような気がしますが、実数とかでも可？

ｘを正の実数とすれば、任意の実数ｙに対しｘ＾ｙを定義できます。しかし、この状況を群の場合に当てはめてはいけません。群の場合の指数の範囲は入門書にはちゃんと書かれているはずです。多分整数全体となっていることが多いと思いますが、０以上の整数または自然数となっている場合も有り得ます。

No.8 回答者： keyguy 回答日時： 2004/03/26 03:29

群Gにかかる演算が積のときのみ上記が成り立つのでは？

群の定義においてなされる演算はどう名なずけてもいいのです
それを積呼ぼうが和と呼ぼうが変と呼ぼうが群の定義に記されている性質を満たしていれば何だってどのように呼んだっていいのです
慣例で積といっているだけです
整数も「その演算」を「整数の和」にとれば整数も群になります
（ただしこのとき単位元は1ではなく0である）
しかし整数は「その演算」を「整数の積」にとれば整数は群ではありません
ものによって「その演算」を積に取るか和にとるかあるいはその他の演算にとるかで群になれるかどうかが違ってきます
群の定義によればnが整数以外の時のことは問題になりません
元の有限回の積しかでてきませんよ

群の定義：
集合Xとその演算?において
(1)Xの任意の元a,b,cについてa?(b?c)=(a?b)?cが成立する
(2)Xの任意の元aに対してa?e=e?a=aとなるXの元eが存在する
(3)Xの任意の元aに対してa?b=eとなるXの元bが存在する
が成立するとき(X,?)を群と呼ぶ

この定義からnが整数以外のときが問題になるでしょうか?
a?a?a?・・・?aしか出てきません(?は有限回)

No.7 回答者： answer 回答日時： 2004/03/24 01:15

No6の訂正です。

No6の記述、後半で、
　「a^(m-1)n 」

という表記がありますが、正しくは
　「a^{(m-1)n}」
です。
ごめんなさい。<(_ _)>

No.6 回答者： answer 回答日時： 2004/03/24 01:09

身近なもので考えたらいかがでしょうか。

例えば、整数を６で割った余り全体は
{0, 1, 2, 3, 4, 5}
これは、「＋」について群が定義できますね。

この場合の単位元は「０」です。

●「０」から生成される部分群は｛０｝なので、
「０」の位数は１です。

●「１」から生成される部分群は
{0,1,2,3,4,5}
なので、「１」の位数は６です。
別の言い方をすれば、
「１」を6回加えると、単位元０になります。

（注意：「１」は演算「＋」について、単位元ではありません）

●「２」から生成される部分群は
｛0, 2, 4｝
なので「２」の位数は３です。
言い方を変えると、２を3回加えると、単位元０になります。

★さて、「１」の位数は６（=2×3）ですが、
確かに２（=1＋1）の位数は３になりますね。


●元a の位数がmn ということは、
a^(mn) は単位元になるということです。
しかも、a^j が単位元になる j で最小の数が mn ということでもあります。

上の例でいえば、「２」は 3 回加えても、6 回加えても０になりますが、
3回は０になるための最小の回数です。

●同様に考えます。
群は結合則が成り立ちますので、
a^(mn)=1 <-> (a^n)^m=1

位数の定義から、
a^n, a^(2n), ..., a^(m-1)n ときて、
　a^(mn)で初めて 1になります。

このことから、a^n の位数は m だということです。

　参考になれば、幸いです。

No.5 回答者： keyguy 回答日時： 2004/03/24 00:51

aを含むGの最小の部分群を〔a〕としたとき

aの位数とは〔a〕の位数のことです
明らかに
〔a〕={e,a,a^2,a^3,・・・}
です
従ってa^n=eを満たす最小の自然数nがaの位数です

数学では矛盾しなければどのように定義してもいいので本質的に同じなので
位数とはa^n=eを満たす最小の自然数n
と定義してもいいのです

この回答への補足

[a]（これは<a>と同じ？）は、Gの生成系ということで正しいでしょうか？
それ以外のコメントは、#4と同じです。

補足日時：2004/03/25 21:50

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/03/23 23:19

ａがＧの元であれば

a^2，もＧの元です。
a^3,a^4・・・・すべてＧの元になります。

Ｇが有限群ならば
a^n＝ｅ（単位元）　となるｎが存在します。
その最小のｎを位数と考えればよいでしょう。

この回答への補足

> ａがＧの元であれば
> a^2，もＧの元です。
> a^3,a^4・・・・すべてＧの元になります。
a^nがすべてGの元となる理由ですが、これは群Gを構成する演算が群Gを構成する集合で閉じているからということで正しいのでしょうか？
でもそう考えると、群Gにかかる演算が積のときのみ上記が成り立つのでは？と思ってしまいます。私の理解が間違っている？
また、a^nのnに対する制限はどうなっているのでしょうか？上記の例からは、なんとなく自然数のような気がしますが、実数とかでも可？
> Ｇが有限群ならば、a^n＝ｅ（単位元）となるｎが存在
これもなんでなのかよくわかりません。
すいません。まったく判っていないですね、私…（笑）

補足日時：2004/03/25 21:27

No.3 回答者： liar_adan 回答日時： 2004/03/23 20:29

>位数|G| は単一の数ですよね？元aの位数<a>も単一の数を導出できるのか？

＃２です。たいへん失礼しました。書き間違えました。
<a>は群です。Gの部分群になります。
元aの位数は|<a>|になります。

たとえば、α＝「1の6乗根」とします。
すると、
{1, α, α^2, α^3, α^4, α^5}
は群になります。
このとき、
α^2＝ω＝「1の3乗根」とすると、
<ω>≡{1, ω, ω^2}
となります。
群<ω>の位数は3。
だから元ωの位数は3となります。

なお、本によって、<a>と[a]などのように、記号の違いがあります。

この回答への補足

書籍「代数演習（新訂版)」（サイエンス社)によれば、
『ただ1つの元aで生成される群を巡回群といい、<a>と書く。また、G∋aに対して、巡回群<a>の位数を元aの位数という。』とありました。
上記の例では、G={1, α, α^2, α^3, α^4, α^5}に対し、<ω>≡{1, ω, ω^2}が巡回群で、かつ、Gの部分群となるという理解で正しいでしょうか？
また、上記の場合、α^nの演算に関しては、α＝「1の6乗根」であるので通常のスカラ量αへの累乗演算ですが、他の場合はスカラ量とは限らないのですよね？

補足日時：2004/03/25 21:23

No.2 回答者： liar_adan 回答日時： 2004/03/23 19:06

群の位数と元の位数は定義が違います。

元の位数は、元aから生成されるGの部分群<a>のことです。
元aから生成される部分群…の定義は、代数学の教科書の最初の方にある筈です。

数学の用語は、文脈や、適用される対象によって
定義が違うことは良くあります。
(たとえば「開集合」という言葉も、
位相空間と距離空間では定義が違います)

最終的には、同じ用語は近い意味になるのですが、
それぞれの定義にもどってやり直さないと証明ができません。

この回答への補足

>　最終的には、同じ用語は近い意味になるのですが、…
私もそう推測するのですが、これに関してはどのように近い意味になるのか、定性的な理解がまだできていません。
位数|G| は単一の数ですよね？元aの位数<a>も単一の数を導出できるのか？それとも、すでにここで群の位数の意味を間違っているのか？
この辺がクリアにならないと、きっと理解は困難ですよね？

補足日時：2004/03/23 19:58