有理数解をもつ条件に関する問題を教えてください

数学II・Bの問題です

mを自然数とする。　2次方程式 x^2＋mx ＋7＝0の解がすべて有理数となるmの値を求めよ。

また、そのときの解をもとめよ。

できるだけ簡単に教えてくださるかたがおられましたらよろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/06/22 00:04

(整数係数) 代数方程式が有理数解を持つなら, それは

±(定数項の約数)/(最高次係数の約数)
の形に限る.

No.2 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/06/22 22:38

　こんにちは。

　解の公式を考えて見ましょう。解が有理数と言うことは、解の公式で平方根のある部分つまりは判別式といわれる部分が、有理数の平方の形になって、平方根号が外れるときですね。

　　そこで、判別式＝m^2-28 が　nを有理数として、n^2になるときですね。

　　　つまりは　ｍ＾２－２８＝n^2　とおけます。

　ここで左辺は自然数ですから、ｎも整数になります。　　（この時点では、ｎ自身は負の可能性もありますので）

　　変形すると　m^2-n^2 = 28 因数分解して、（m+n）（m-n) = 28,


m,n は整数ですから、m+n, m-nも整数で　ともに奇数かともに偶数です。
　　なぜなら、ｍ、ｎがともに偶数またはともに奇数のときのとき、その和と差なので、m+n, m-n ともに偶数
m,nのいっぽうが奇数で他方が偶数のとき、その和と差なので、m+n, m-n ともに偶数
　　（これは可能性を減らすため説明するのです）

　　積が２８で、ともに奇数になる２数はない。　ともに偶数になるのは、２と１４　か　（－２）と（－１４）だけ

　　　したがって、m+n = 2 , m-n =14　か　m+n　=14,　 m-n=2

よって　ｍ＝８,　n=-6　または　ｍ＝８、n=６　いずれの場合もｍ＝8ですね。

　　　または　m+n =-2 , m-n =-14　か　m+n　=-14,　 m-n=-2

よって　ｍ＝-８,　n=6　または　ｍ＝-８、n=-６　いずれの場合も　ｍ＝ー8ですね。

　　しかし条件にmは自然数とありますから、ｍ＝８の方だけですね。


　　ちなみに、（－６）＾２の平方根も、６＾２の平方根も６になりますから、nは自然数とはいえないのです。

　　（有理数）解は　ｍ＝８の時　x = -7 ,-1

　となります。

　　以上ですが、このように判別式は、実数解の数だけではなく、

　　　　　解が有理数か否か、
　　　　　
　　　　　言い換えると（整数の範囲で2次式が）因数分解できるかどうか
　
　ということにも大きく関係があります。高校になると有理数や無理数の世界を

　2次方程式と関係づけて、もう少し授業で説明しても良いのではないかと思いますが、

　あまりやっていませんね。

この回答へのお礼

お礼がおそくなり申し訳ありません。詳しく説明してくださってほんとうにありがとうございました。

お礼日時：2013/06/28 20:11

No.3 ベストアンサー 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/23 05:48

その有理数解の一つを

x=p/q
（p,qは互いに素な整数,q>0）
とすると、

(p/q)^2+m(p/q)+7=0　　・・・★

分母を払って、
pを含む項をまとめる
　→　p(p+mq)=-7q^2
　　　p+mq≠0なのでpは右辺の約数。
　　　pとqとは互いに素なのでpは7の約数。
　　　∴p=7または-7

qを含む項をまとめる
　→　q(mp+7q)=-p^2
　　　mp+7q≠0なのでqは右辺の約数。
　　　pとqとは互いに素なのでqは1の約数。
　　　∴q=1

（↑と同様の方法で#1に書いてあることが証明できます）

p,qの値を★に代入してmを求めます。

ちなみに、解は1つだけ考えればいいです。片方が有理数解
ならもう片方も必ず有理数解になるからです。

この回答へのお礼

お礼がおそくなり申し訳ありませんでした。
丁寧に教えてくださりありがとうございました。

お礼日時：2013/06/28 20:09