因数分解について

８ａ3－１２ａ2＋６ａ－１
これを公式を使わずに解くことは
できますか。
公式を使って解く場合は
どのような計算過程、答えに
なるのでしょうか。
回答、よろしくお願い致します。

※半角の数字は乗数です。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/25 19:34

高次代数方程式を解く方法は、概ね、思いつきしかない。

うまい公式がある例なんて、極々一部の例題だけ。
思いつきには、思いつきの筋道があって…

方程式の係数が整数であれば、「有理数解はないかな？」
と考えてみるのは、常道だと思う。
整数係数方程式の有理数解は、(定数項の約数)/(最高次係数の約数)
という形のものに限られる。←これは、覚えておいたほうがよい。
証明も簡単だから、自分で試みてみてね。

8a^3-12a^2+6a-1=0 の場合、候補は a=±1,±1/2,±1/4,±1/8
だけと言うことになる。このうち、どれが解になっているか？
順に代入してみれば、割と早い段階で a=1/2 が解であることを
見つけられると思う。

見つけてしまえば、あとは A No.1 に詳しい解説がある。
あれをよく読んで理解しておこう。

順に次数を下げるということ。2 次まで下がれば、解公式で終わる。
3 次や 4 次の方程式にも解公式はあるが、全くお勧めできない。
勧められても困る代物だということは、公式を目にすれば判るはず。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/25 19:36

ミスプリ！

順に代入してみれば、割と早い段階で a=1/2 が解であることを
見つけられると思う。

見つけてしまえば、あとは A No.3 に詳しい解説がある。

(どちらの方も、ごめんなさい。)

No.3 回答者： masssyu 回答日時： 2013/06/25 16:48

f(a)=8a^3-12a^2+6a-1　　とする

a=1/2 のとき

f(1/2)=8*(1/2)^3-12*(1/2)^2+6*1/2-1
f(1/2)=1-3+3-1=0

となり

f(a)は 1/2 を因数に持つことがわかる

つまり

f(a)は(a-(1/2))を商にもつ

f(a)=(a-(1/2))Q
f(a)=(2a-1)Q

筆算で解くと

f(a)=(2a-1)(4a^2-4a+1)

f'(a)=4a^2-4a+1　とする

f'(1/2)=4*(1/2)^2-4*(1/2)+1
f'(1/2)=1-2+1=0

となり

f'(a)は 1/2 を因数に持つことがわかる

つまり

f'(a)は(a-(1/2))を商にもつ

f'(a)=(2a-1)(2a-1)=(2a-1)^2

f(a)=(2a-1)f'(a)
f(a)=(2a-1)(2a-1)^2
f(a)=(2a-1)^3

となります

No.2 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/06/25 15:54

　こんにちは、

　基本的に「公式を使わない」というのは、「思いつきでとく」ということですし、公式は思い付きを整理してルールにしただけのことですから、「公式を使わない」ということは、たいして意味のあることではありません。

　したがって、公式を使わないと言うことにこだわる必要はないのです。

　ではどうやって公式を使えるように思いつくかというと、与えられた式と公式を比べることです。

　３次式の場合、因数分解に関してはそれほどたくさん公式はありません。

　その中で、予式は、３次の項、２次の項、１次の項と定数項がありますから、

　符号もあわせて考えると、比べる公式は

　　ａ3－３ａ2＋３ａ－１　=　（ａ-1)＾３となります。

　　これを予式と比べれば、予式は　３次の項、２次の項、１次の項が、順に８倍、４倍、２倍　つまりは

　　　２の３乗、２の２乗、２の１乗になっていますから、

　　予式　＝　（２ａ）^３ー３（２ａ）^２＋３（２ａ）－１　＝（２ａ－１）^３

　　となります。

　　そもそも公式はいままでの経験を整理したものであり、新しい問題に取り組むときは、

　経験と比較してどうすれば良いのかを考えるわけですから、「丸覚えは勉強ではない」などと言う人の言葉に

　惑わされないようにね。

　
　　


　

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/06/25 15:00

b=2a

８ａ3－１２ａ2＋６ａ－１=b^3-3b^2+3b-1=(b-1)^3=(2a-1)^3