次の二重積分のx,yの範囲をどう取ればいいのかわかりません。
∬D sin(2x-y)dxdy, D={ (x,y) | x≦2y≦4x, x+y≦π}
-----------------------------------------------------
この問題の範囲の指定は、
xの範囲をπ/3≦x≦2π/3、yの範囲をyを0≦y≦2x
これで合っているでしょうか?
図を描いてみたのですが、いまいちピンときません。こういう問題の範囲を求め方のコツなどがあれば教えて欲しいです。
どなたか馬鹿な私でもわかるように解説をよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>xの範囲をπ/3≦x≦2π/3、yの範囲をyを0≦y≦2x
これで合っているでしょうか?
間違い。
添付図の黄色斜線領域△OABが積分領域Dになります。
領域Dを積分しやすい領域の分割の仕方で表すと次のD1またはD2の2通りあります。
D1:{(x,y)|x/2≦y≦2x(0≦x≦π/3),x/2≦y≦π-x(π/3≦x≦2π/3)}
または
D2:{(x,y)|y/2≦x≦2y(0≦y≦π/3),y/2≦x≦π-y(π/3≦y≦2π/3)}
I=∬D sin(2x-y)dxdy
を逐次積分(累次積分)で書くと
I=∬D1 sin(2x-y)dydx
=∫[0,π/3]dx∫[x/2,2x]sin(2x-y)dy
+∫[π/3,2π/3]dx∫[x/2,π-x]sin(2x-y)dy
=∫[0,π/3]dx[cos(2x-y)][y:x/2,2x]
+∫[π/3,2π/3]dx[cos(2x-y)][y:x/2,π-x]
=∫[0,π/3] cos(0)-cos(3x/2) dx
+∫[π/3,2π/3] cos(3x-π)-cos(3x/2)dx
=(π/3)-[(2/3)sin(3x/2)][0,π/3]
+[(1/3)sin(3x-π)-(2/3)sin(3x/2)][π/3,2π/3]
=(π/3)-(2/3)sin(π/2)
+(1/3)[sin(π)-sin(0)-2(sin(π)-sin(π/2))]
=(π/3)-(2/3)+(2/3)
=π/3 ...(※)
領域D2で逐次(累次)積分する場合は
I=∬D2 sin(2x-y)dydx
=∫[0,π/3]dy∫[y/2,2y]sin(2x-y)dx
+∫[π/3,2π/3]dy∫[y/2,π-y]sin(2x-y)dx
この続きはD1と同様にできますのでご自分でやってみて下さい。
結果は(※)と同じ結果となります。
非常にわかりやすくて助かりました。領域のところの理解が曖昧だったため、この解説で自分の知識が深まりました。今後もっとこのような問題を解いて力をつけようと思います。ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・架空の映画のネタバレレビュー
- ・「お昼の放送」の思い出
- ・昨日見た夢を教えて下さい
- ・ちょっと先の未来クイズ第4問
- ・【大喜利】【投稿~10/21(月)】買ったばかりの自転車を分解してひと言
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
ん?複素数zがargz=π/2を満たし...
-
積分計算(定積分)
-
cos2X>3cosX-2 で、(2X-1)(X...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
重積分の問題
-
∫0→π/2 sin^2x dx
-
積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
-
複素数のn乗根が解けません
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
数学のレムニスケートについて...
-
cos π/8 の求め方
-
y=sin4θとy=cos4θのグラフの...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
至急!この数3の複素数平面の問...
-
sinθ・cosθの積分に付いて
-
この1/2はどこからでてきました...
-
微分の問題
-
扇形の図形に長方形が内接
-
1の11乗根を具体的に
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
cos π/8 の求め方
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
y=sin4θとy=cos4θのグラフの...
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
この1/2はどこからでてきました...
-
sin(sinx)=cos(cosx)のグラフに...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
三角関数の合成です sinθ+√3cos...
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
1/tanx=cosx/sinx ?
-
数学Ⅱ 三角関数のグラフ y=-2co...
-
関数
-
積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
-
数IIIの問題です
-
扇形の図形に長方形が内接
おすすめ情報