数IIIの定積分、わからなくて困っています!!

下の画像の、等式を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。という問題を学校で出されたのですが、わからなくても先生には聞くなといわれた上、姉にもわからないと言われ、この問題の小テストも近々あるので、非常に困っています。

一問でもわかる方がいらっしゃったら、教えて頂けませんか(´；д；`)？

No.3 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2013/07/14 19:14

(2)(3)はNo.2の人の回答で大丈夫。

問題は(1)で、これは「解なし」です。
というのも
＊先ず∫[a→x] (x-t)f(t)dt = log(x)の両辺にx=aを代入すると、0 = log( a)で、a = 1となります。
＊次に∫[a→x] (x-t)f(t)dt = log(x)の両辺をx で微分すると、No.1の人の通り
∫[a→x]f(t)dt = 1/xとなりますが、問題はこの式においてx=a (=1)を代入すると、0 = 1/a = 1となって矛盾します。
というわけで、例えば
∫[a→x] (x-t)f(t)dt = log(x) -x + 1とかでないと解けません。この時は、確かにf(x) = -1/(x^2)となります。

この回答への補足

丁寧に解説いただき、ありがとうございます。
姉に聞くと、どうやら(1)は解なしになるからわからないと言ったらしいです。
このような場合、回答用紙にはどのように書くのが適切なんでしょうか？

補足日時：2013/07/14 23:37

No.5 回答者： tmpname 回答日時： 2013/07/15 01:47

(1)に関しては、「こういう理由により、解なし」と書けばいいです。

この回答へのお礼

わかりました!!
ありがとうございます!!

お礼日時：2013/07/15 21:06

No.4 回答者： tmpname 回答日時： 2013/07/14 20:06

そこで、(3)についてもう一回見てみると、これもまず両辺にx=aを代入してa * log(a) + 1/e = 0となります。

感のいい人はa = 1/eと分かるかもしれませんが、でもa * log(a) + 1/e = 0を満すaが1/eしかないと断定するには、g(a) = a * log(a)の増減を調べなければならず、面倒です。

そこで先に両辺をxで微分すると(1)と同様に、∫[a→x]f(t)dt = 1 + log(x)となります。ここでx=aを代入すると、 1 + log(a) = 0 となって、a = 1/eが出てくる。ここでさっきの式 a * log(a) + 1/e = 0を考えるとa=1/eはa * log(a) + 1/e = 0を満足するので矛盾はありません。
更に∫[a→x]f(t)dt = 1 + log(x)の両辺を微分して、f(x) = 1/xが出てきます。

ポイントは(1)も(3)もf(x)を出すのに2回微分をしないといけない点で、逆演算の積分を考えると積分定数が2つ出てきます。一つは決まっていない定数aに現れますが、もうひとつ足りません。結局(3)ではf(x) = 1/x, a = 1/eで「偶々合い」、(1)ではf(x) = -1/(x^2), a = 1でも「結局合わない」のです。

いずれにせよ、出て来たf(x)とaを元の式に代入してあっているか確認すれば、間違いは無くせます。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2013/07/14 15:19

(2) f(x) = (x＋3)・e^x , a =－2

(3) f(x) = 1/x , a = 1/e

この回答へのお礼

(2)、(3)解けました!!
ありがとうございました!

お礼日時：2013/07/14 23:31

No.1 回答者： noname#181338 回答日時： 2013/07/14 14:42

それでは(1)だけ

∫{a～x}(x-t)f(t)dt=logx
∫とdtの中を分解します
∫{a～x}xf(t)dt - ∫{a～x}tf(t)dt=logx
∫dtとなってるからxは定数扱い出来るので
x∫{a～x}f(t)dt - ∫{a～x}tf(t)dt=logx
両辺xで微分すると微積分の基本定理から∫の上にxがついてるときは∫とdtの中のtをxに書き換えたものが出るので、
(x∫{a～x}f(t)dt)' - (∫{a～x}tf(t)dt)'=(logx)'
一番左の項は積の微分になってることに注意して
∫{a～x}f(t)dt + xf(x) - xf(x)=1/x
綺麗にxf(x)が消えて
∫{a～x}f(t)dt=1/x
もう一度xで両辺微分して
f(x)=-1/x^2

∫{a～x}(x-t)f(t)dt=logxのxにaを入れると
0=logａ
これを満たすaはa=1のみ
以上よりf(x)=-1/x^2、a=1
ミスがあったらすみません

この回答へのお礼

(1)わかりました!!
ありがとうございました!!

お礼日時：2013/07/14 17:34