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次の問題の解き方と答えを教えてください。

地球の周りの静止衛星は赤道上空にあって地球表面から3万6千kmの高度にある。このことは地球を球体とみなし静止衛星にはたらく万有引力と遠心力との均衡を数式化すれば解くことができる。同様に火星または木星の赤道上空に静止衛星をおく場合を想定し、下記の条件でこの静止衛星の惑星表面からの高度を千km単位で有効数字2桁として求めよ。(なお、1日は86400秒。)

火星:赤道半径(m単位) 3.396E+ 6、質量(kg単位) 6.4196E+ 23、自転周期(日単位) 1.026
木星:赤道半径(m単位)7.1492E+7、質量(kg単位)1.899E+27、自転周期(日単位)0.414
万有引力定数(Nm^2/kg^2): 6.672E-11
地球:赤道半径(m単位) 6.378E +23、質量(kg単位) 5.974E+ 24、自転周期(秒) 86164.1、静止衛星地上高(千km単位) 36

また、静止衛星に働く地球の引力と円軌道を周回する場合の遠心力とのバランス式
G・(M・m)÷(R+h)^2=m・{V^2÷(R+h)}…(1)
R:地球の赤道半径、h:静止衛星高度、G:万有引力定数、M:地球質量、
V:静止衛星が地球を周る速度 2π(R+h)÷V=86164秒…(2)
π:パイ(円周率、3.1416)
これらをつかって地球の静止衛星の高さを求めるようなので火星、木星も同様に計算するものだと思います。

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

式も定数も全部書いてあって、


ここまで半分解答が書いてあるような状態だと、
逆に何がわからないのかがよくわかりませんが。

丸投げは禁止されているので考え方だけ言うと

主星の周囲を衛星がぐるぐる回っているとして
衛星が主星に引っ張られる「引力」と
衛星が主星から離れようとする「遠心力」が等しい事、
これが人工衛星(主星を回り続ける)の条件で(1)式に相当します
更に主星の自転と衛星の公転の両角速度が等しい事、
これが静止衛星(地上から見て位置が変わらない)の条件で(2)式に相当します。
この2条件を満たすようなhを求めてやればよいわけです。

(2)式は地球に限定しているので、86164 → 86164 × k(自転周期)とでもして
あとは数学の問題で、(2)式を「 V = ・・・」の形に変形し
それを(1)式に代入して、更に「 h = ・・・」の形に変形すればOKで
式に、定数、重力定数、各惑星の値を代入して計算するだけです。
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そう思うならそうすればいい.

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#3ですが、ためしに計算してみたらこうなりました。
r = 42300 km
地球の半径を6356kmとすると、衛星の高度は42300-6356=35944km
多少の違いはあるが、地球を理想的な質点とみるかその大きさも考慮するかによって結果はずいぶん違ってくるし、他にも条件があるだろうから、数字は一致しないがまあそれなりに35789に近い値にはなります。

Q静止衛星の問題

地表から高さh(m)の円軌道上を、地球の自転と同じ周期T(s)で、地球の自転と同じ向きに赤道上を回る人工衛星は地上から静止してみえるので静止衛星と言う。地球の質量をM(kg)、人工衛星の質量をm(kg)、地球の半径をR(m)、地表における重力加速度をgとする。
1,静止衛星の角速度ω(rad/s)をTを用いて表せ
2,静止衛星の速度v(m/s)をR,h,Tを用いて答えよ
3.静止衛星の加速度a(m/s2)をR,h、Tを用いて答えよ
お答えください・・・・お願いします

Aベストアンサー

地球の自転周期T=人工衛星の公転周期Tを使って、角速度は
ω=2π/T [1/s]
です。地球の中心から測った人工衛星の円軌道の半径は
r=R+h [m]
ですから、速度は半径×角速度で
v = rω = 2π(R+h)/T [m/s]
加速度は半径×角速度×角速度で
a = r(ω^2)=(R+h)(2π/T)^2 [m/s^2]
となります。
ご質問はここまで。地球と人工衛星の質量、および地表での重力加速度は不要です。

次にhを求めてみましょう。地球の引力による加速度は地球の中心との距離の2乗に反比例することから、地球の引力が人工衛星に及ぼす加速度は
g(R/(R+h))^2
となり、人工衛星がどっかに飛んで行ってしまわないためには、これが求心加速度aに等しくなくちゃいけませんから、
a =g(R/(R+h))^2
よって、
(R+h)(2π/T)^2=g(R/(R+h))^2
だから
(R+h)^3=g(RT/(2π))^2
ゆえに
h = (g((RT/(2π))^2))^(1/3)-R
となります。
2πR =(4.0×10^7) [m]
T=8.6×10^4 [s](≒24時間。実は1年≒365.24日で1+365.24回転するので、(24×365.24/366.24)時間ですけど)
g=9.8[m/s^2]
を使うと、
h=3.6×10^7[m]
が得られます。結局質量M,mは不要です。

地球の自転周期T=人工衛星の公転周期Tを使って、角速度は
ω=2π/T [1/s]
です。地球の中心から測った人工衛星の円軌道の半径は
r=R+h [m]
ですから、速度は半径×角速度で
v = rω = 2π(R+h)/T [m/s]
加速度は半径×角速度×角速度で
a = r(ω^2)=(R+h)(2π/T)^2 [m/s^2]
となります。
ご質問はここまで。地球と人工衛星の質量、および地表での重力加速度は不要です。

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