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力学が苦手で困ってます。お助けください。。
ヒントだけでもいただければ幸いです。


滑らかな広い水平面があり、鉛直下方向に一様な重力加速度 g が作用している。水平面上に、質量 M で傾角αの斜面を持ち全面が滑らかなくさび形の台を置く。大の斜面上に質量 m の質点 P を静かにおくとき、質点が斜面上にある場合の運動について以下の問題に答えよ。水平面上に x 軸を、鉛直上方向に y 軸を設定する。また、質点 P の座標を(x,y)、台の重心 G の座標を(X, Y)とする。

(1)加速度 x''  と  X'' の関係を示せ。

(2)質点が斜面から受ける垂直抗力を N とするとき、x 方向、 y 方向の運動方程式を示せ。

(3)質点が斜面上に拘束される条件から、関係式 y''ー Y'' = (x''ーX'')tanαが導かれることを説明せよ。

(4) 抗力Nを α, m, M, g を用いて表せ。

(5) x''およびy''をα, m, M, gを用いて表せ。

(6) X''、Y''をα, m, M, gを用いて表せ。

「力学(滑らかな斜面上の質点)」の質問画像

A 回答 (1件)

この問題,最近みたばかりですね。



ほぼ同じ問題がありますので,このQAを参照してください。長くなるので。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7478318.html

動座標系で解く場合,慣性系で解く場合,両方の回答があります。
後者は私ですが。
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この回答へのお礼

複雑に考えてしまって解けなかったようです。
よくわかりました。ありがとうございました!

お礼日時:2013/08/01 18:09

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Q物理の問題で教えてほしいものがあります。

床、斜面はなめらかで、物体Bを静かに放したとき、加速度a(水平方向)、b(斜面方向)を求めよ。
画像が縦になっていますが、実際は横向きです。

Aベストアンサー

慣性系で解いてみます

物体Bの加速度を小文字のaで、斜面の加速度を大文字のAであらわすと、
物体Bに働いているのは重力mgと斜面からの垂直抗力Rだけなので、
幾何学的な関係から運動方程式が

(1) m ax = R sinθ
(2) m ay = R cosθ-mg

斜面は鉛直方向には運動せず、水平方向はRの反作用だけなので

(3) M Ax = - R sinθ
(4) M Ay = 0

物体Bが斜面上を動くという条件から斜面に対する相対加速度の成分比がtanθにならないといけないので、符号に注意すると(4)を使って

[ ay - Ay ] / [ax - Ax ] = ay / [ax - Ax ] = - tanθ

したがって

(5) ay = -(ax - Ax) tanθ

(1)と(3)から

ax - Ax = (1/m+1/M) R sinθ = [ (M+m)/Mm ] R sinθ

となるのでこれを(5)に、その結果をさらに(2)に代入して

m { -[ (M+m)/Mm ] R sinθ tanθ}
= -[ (M+m)/M ] R [sin^2θ/cosθ] = R cosθ-mg

これを整理して

R = [ m M cosθ/(M+m sin^2θ) ] g

以下、代入をくり返せば芋づる式に解けますので、
求めよと言われているaの大きさは

a = |Ax|

で、bの大きさは

b = √[ax^2 + ay^2 ]

でえられます。

慣性系で解いてみます

物体Bの加速度を小文字のaで、斜面の加速度を大文字のAであらわすと、
物体Bに働いているのは重力mgと斜面からの垂直抗力Rだけなので、
幾何学的な関係から運動方程式が

(1) m ax = R sinθ
(2) m ay = R cosθ-mg

斜面は鉛直方向には運動せず、水平方向はRの反作用だけなので

(3) M Ax = - R sinθ
(4) M Ay = 0

物体Bが斜面上を動くという条件から斜面に対する相対加速度の成分比がtanθにならないといけないので、符号に注意すると(4)を使って

[ ay - Ay ] / [ax - Ax ] = ay / [ax - A...続きを読む

Q鎖を引き上げる運動

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか?

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギーE(z)を求めよ。

(4)また、W(z)-E(z)を求め、これが何に対応するか説明せよ。

という問題なのですが、(1)は力のつりあいから λzg だとわかるのですが、(2)がどうやったらいいか分かりません。どう解くのでしょうか?
また、(3)のW(z)は(2)のFをz=0→zで積分で出ると思うのですが、力学的エネルギーはどうしたらいいのでしょうか?位置エネルギーも運動エネルギーも質量mの部分をどう表したらよいか分かりません。
そして、(4)はどうなるのでしょうか?

どうか、よろしくお願いします。

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか?

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギ...続きを読む

Aベストアンサー

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、Fは
F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします。
W(z)=∫Fdh (積分範囲は0からz)
    =λ∫(hg+v^2)dh (積分範囲は同上)
    =λ[gh^2/2+hv0^2] (範囲は同上)
    =λ(gz^2/2+zv0^2)

E(z)は質量λzの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば
よくて、前者はλgz^2/2 (2で割っているのは、宙に浮いている鎖の
重心がz/2の高さにあるからです) であり、後者はλzv0^2/2です。
よって
E(z)=λ(gz^2+zv0^2)/2

(4)
一言でいうと、質量が変化するからW(z)とE(z)が同じにならないということ
です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。
例題7と8を見て下さい。
https://online.lec-jp.com/images/goods_book/KL/KL10057.pdf

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、Fは
F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q斜面から滑り落ちるタイプの力学の問題です

物理の問題で、どうもすっきり解けないので、お助けください。

----------------------------------------------------------------
図のように、滑らかな床の上に置かれた三角形の断面を持つ台があります。

物体A、Bともに静止状態から、
物体A(質量m)がこの斜面(長さa, 床との角度θ)を滑り落ちはじめると同時に、
物体Bも静かに右方向へ動き始めました。

物体Aが床に到達する瞬間までに、物体Bが移動した距離を求めよ。
----------------------------------------------------------------
...という問題です。

解いていると式が複雑になるので、もっとスッキリした解法があるのではないかと思い、
お分かりの方がいれば、解説を伺いたいと思い、質問をアップすることにしました。

何卒よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

 摩擦や空気の抵抗はないと考えるのですか?

 それであれば、物体AとBは閉じた系を形成していると考え、外から働く力は鉛直下向きの重力だけですから、「水平方向の重心位置は変わらない」ということで解けるのでは。

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。はじめ静止していた質量

雨滴の運動
質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。

はじめ静止していた質量m0の雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場の中を落下していく。
時間tのあとの速度を求めよ。

という問題で写真のような模範解答なのですが最後の(3)式の求め方がわかりません。
簡単な変数分離で解けるのでしょうか?

Aベストアンサー

No.1 です。

ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
  v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。

 ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった(あるいは重くなった)質量は、その場で「異なる速度を持って離れる(または合体する)」という場合です。
 雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。

 でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、(2)式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
 「静止している(=運動量がゼロ)水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。

 質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。

No.1 です。

ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
  v = p/m = [ m0gt + ...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q【力学】難問です。どうやっても解けません。

【問題】
二本の水平な棒が、角度2Φ(0<Φ<π/2)で交わっている。
棒の交点に質量M、半径Rの球を置き、角度2Φの丁度間の方向に静かに押したところ、
球は滑らずに転がり、棒から離れて落下した。
球が棒から離れる瞬間の速度と角速度を求めよ。


問題の状況等は画像の通りです。
ここから微分方程式を立てても、決して解けたものではありませんでした。

何か画期的な方法やヒントとなる情報だけでもいいので教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

ANo.5へのコメントについてです。

> 摩擦力Fも急減少します。

そうなのかな。で、そうだとしても、それでも「滑らない」ということを前提にしてるんですよね?

> このことから、角速度が急増加するとは考えにくいのではないでしょうか。

 接点が回転軸に近づけば、少し進むだけで球の重心は大きく下がる。そのエネルギーはどこに行くんでしょ。前提は「滑らない」ですから、球が棒から離れてしまうまでは角速度が増え続けねばならない。
 なので、どこかで話が破綻しないでしょうかね、ってことです。


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