ベクトル解析のrotとdivについて

現在、情報工学を学んでいるのですが、授業でベクトル解析を行っています。
そこでgrad,rot,divなどを勉強していますが分からないことがあります。
たとえば、gradであればスカラー場の勾配を調べることで、その値の変化を知ることができる。これを利用すればある構成要素のどのパラメータを操作すれば最も影響を与えることができるかなどの考察が可能になると思います。
ですが、rot,divに関しては、教科書などの例にある通り回転と発散のイメージしかないので、これがどのように便利なのかいまいちわかりません。

どなたかこれらの解析の応用例を教えていただけないでしょうか？
別に情報工学に関係していなくてもかまいませんが、流体力学の例は教科書にたくさん載っているので、それ以外でお願いします。

No.2 回答者： Water_5 回答日時： 2013/11/24 22:18

Maxwell方程式はガウスの定理、ストークスの定理に戻って

考えるとわかりやすい。

参考URL：http://pascal.blue.coocan.jp/

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/11/21 08:35

参考URLは電気磁気学のMaxwellの方程式の例で質問者さんの質問に沿った詳しく解説が載っています。

同URLの「２　Maxwellの方程式」のところの方程式(1)～(4)で、
(1)が
　divE=ρ/ε　,,,(A)
　(divE=i∂E(x)/∂x+j∂E(y)/∂y+k∂E(z)/∂z)
で、ρが電荷密度、εが誘電率、Eが電界（電場）ベクトルです。
　divEは電場E(ベクトル場)の中の微小体積dVから湧き出す電気力線の本数を表します。

この左辺を積分形で表せばガウスの定理
　∫divE dV=∫E・ndS ...(B)
を用いて
　∫E・ndS=∫ρdV/ε=Q/ε
となります。
原点に置いた点電荷Qの作る電界のr方向成分は
　E=Q/(4πεr^2) ...(C)
divEを半径rの球の内部領域で体積積分したのが(B)の左辺で
右辺は半径rの球面全体でEの半径r方向成分（EとdSの内積）を積分
したもので(C)のEを代入して球面S全体（S=4πεr^2）で積分すると
「Q/ε」となります。これは点電荷Qから湧き出す電気力線の本数を表します。

参考URLの式(2)は書き換えると
　rotE=-∂B/∂t
で、Eは電界ベクトル、Bは磁束密度です。
静磁場では「∂B/∂t=0」なのでrotE（電場の渦）はゼロ、つまりループ状の閉じた電気力線は存在しないということです。
(3)の式は
　divB=0
のことで磁束密度の湧き出しはゼロ、つまり電荷に相当する磁荷は存在しないことを表します。
つまり磁力線が存在する場合はループ状の閉じた曲線であるということです。

(4)の式は
c^2*rotB=i/ε+∂E/∂t ...(D)
cは光速、iは電流密度です。透磁率μの定義はμ=1/(εc^2)。また、B=μH(Hは磁界ベクトル)。
静電界では、∂E/∂t=0なので(D)を書き換えると
rotH=rot(B/μ)=rotB/μ=i　...(E)
となります。これは磁界Hの渦は電流密度iに等しいことを意味します。

(R)を積分形に直せばストークスの定理より
　∫rotH・ndS=∮Hds
アンペールの法則より
　∮Hds=∫idS=I　⇒　∫rotH・ndS=I
磁界ベクトルの渦rotHは微小磁力線ループから流れ出す電流i=dIを表します。

参考URL：http://lab.sdm.keio.ac.jp/maenolab/makino/docume …