No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
ANo.1の図を描いたので添付します。
ANo.1の[別解]の追加補足です。
>[別解]
> x=u, y/2=vとおけば
> f(u,2v)=u^3+2v=g(u,v), 条件:u^2=v^2+1
>となります。
>さらにv=tan(t)(|t|<π/2)とおけば u=1/cos(t)(>0)
誤: u=1/cos(t)(>0)
正: u=±1/cos(t) (cos(t)>0)
>この時条件:u^2=v^2+1は常に満たされる。
以下、u=1/cos(t)(>0)の場合になります。
[1] u=1/cos(t)(>0)すなわちx>0の場合(添付図のx>0のz=f(x,y)(>0)の青線のグラフ参照)
> g(u,v)=(1/cos(t))^3 +2tan(t)=h(t)
> h'(t)=3sin(t)/(cos(t))^4 +2/(cos(t))^2
> ={3sin(t)+2-2(sin(t))^2}/(cos(t))^4
> =(2-sin(t))(2sin(t)+1)/(cos(t))^4
>sin(t)=-1/2,t=-π/6でh'(t)=0
>-π/2<t<-π/6でh'(t)<0, -π/6<t<π/2でh'(t)>0
>t=-π/6で極小値(最小値)h(-π/6)=(2/√3)^3-2/√3=2√3/9 をとる
>極大値は無い(t→π/2-でh(t)→∞、t→-π/2+でh(t)→∞)。
>t=-π/6のとき x=u=2/√3, v=-1/√3, y=2v=-2/√3
---以下追加分です。----
[2] u=-1/cos(t)(<0)すなわちx<0の場合(添付図のx<0のz=f(x,y)(<0)の青線のグラフ参照)
g(u,v)=(-1/cos(t))^3 +2tan(t)=h(t)
h'(t)=-3sin(t)/(cos(t))^4 +2/(cos(t))^2
={-3sin(t)+2-2(sin(t))^2}/(cos(t))^4
=-(2+sin(t))(2sin(t)-1)/(cos(t))^4
sin(t)=1/2,t=π/6でh'(t)=0
-π/2<t<π/6でh'(t)>0, π/6<t<π/2でh'(t)<0
t=π/6で極大値(最大値)h(π/6)=-(2/√3)^3+2/√3=-2√3/9 をとる
極小値は無い(t→π/2-でh(t)→-∞、t→-π/2+でh(t)→-∞)。
t=π/6のとき x=u=-2/√3, v=1/√3, y=2v=2/√3
[1],[2]まとめると
x=2/√3、y=-2/√3のとき極小値f(2/√3,-2/√3)=2√3/9をとり
x=-2/√3、y=2/√3のとき極大値f(-2/√3,2/√3)=-2√3/9をとる。
(添付図のグラフの説明)
青丸のところが極小値、極大値、淡い青の曲面がz=f(x,y)=x^3+y,黒線がz=0平面上の双曲線x^2-(1/4)y^2=1
のグラフ、青線グラフが曲面z=f(x,y)と双曲面x^2-(1/4)y^2=1との交線のグラフです。
No.1
- 回答日時:
x^2-(1/4)y^2=1 より
y≧0のとき y=2√(x^2-1) ⇒ f(x,y)=x^3+2√(x^2-1)=g(x)
y<0のとき y=-2√(x^2-1) ⇒ f(x,y)=x^3-2√(x^2-1)=g(x)
と場合分けして、xだけの関数g(x)の増減表を作成して極値を求め、
場合分けを合わせてまとめればいいでしょう。
(高校数学レベルで解ける)
[別解]
x=u, y/2=vとおけば
f(u,2v)=u^3+2v=g(u,v), 条件:u^2=v^2+1
となります。
さらにv=tan(t)(|t|<π/2)とおけば u=1/cos(t)(>0)
この時条件:u^2=v^2+1は常に満たされる。
g(u,v)=(1/cos(t))^3 +2tan(t)=h(t)
h'(t)=3sin(t)/(cos(t))^4 +2/(cos(t))^2
={3sin(t)+2-2(sin(t))^2}/(cos(t))^4
=(2-sin(t))(2sin(t)+1)/(cos(t))^4
sin(t)=-1/2,t=-π/6でh'(t)=0
-π/2<t<-π/6でh'(t)<0, -π/6<t<π/2でh'(t)>0
t=-π/6で極小値(最小値)h(-π/6)=(2/√3)^3-2/√3=2√3/9 をとる
極大値は無い(t→π/2-でh(t)→∞、t→-π/2+でh(t)→∞)。
t=-π/6のとき x=u=2/√3, v=-1/√3, y=2v=-2/√3
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