積分（いわゆる傘型分割）

（問い）y=x^2-x、ｙ＝ｘで囲まれた部分をｙ＝ｘを中心に１回転した部分の体積を求めよ。

⊿ｘが極めて小さいとき、回転体の体積は、添付画像の緑色の平行四辺形｛√２ｄｘかける（ーｘ＾２＋２ｘ）｝の集まりとして、求積出来るが、それは、ピンク部分（半径（－ｘ＾２＋２ｘ）／√２高さ√２ｄｘの円柱）の集まりだから、、、というように考えたらだめでした。
正しくは、V=∫（０～２）｛（－ｘ＾２＋２ｘ）／√２｝＾２（√２ｘｄｘ）だそうです。（√２ｘｄｘ）となるのはなぜですか？どう見ても√２ｄｘだと思う自分がいます。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/11 05:26

y=xに沿って測った距離sはx座標に直すと　s=√(2)x なので微小円板の厚さは　ds=√(2)dx

距離sにおける回転体の断面(円板)の半径rは
　r=(x-(x^2 -x))/√(2)=(2x-x^2)/√(2)
なので
距離sにおける微小な厚さdsの円盤の体積ｄVは
dV=πr^2 ds=π((2x-x^2)^2)(1/2)√(2)dx=π((2x-x^2)^2)/(√(2))dx
求める回転体の体積Vは
V=∫{V] dV=∫[0,2√2)]π(r^2)ds
=π∫[0,2] ((2x-x^2)^2)/√(2))dx
=(π/√(2))∫[0,2] (4x^2-4x^3+x^4)dx
=(π/√(2))[(4/3)x^3-x^4+(1/5)x^5)][0,2]
=(π/√(2))8((4/3)-2+(4/5))
=(π/√(2))(16/15)
=8√(2)π/15 ...(答え)

>正しくは、V=∫（０～２）｛（－ｘ＾２＋２ｘ）／√２｝＾２（√２ｘｄｘ）だそうです。

間違った式です。πが抜けています。
正しい式は
V=π∫（０～２) [{(－x^2＋3x)／√(2)}^2] √(2)dx

>（√２ｘｄｘ）となるのはなぜですか？
前のｘはエックスではなく掛け算記号でしょう。

>どう見ても√２ｄｘだと思う自分がいます。
単に、掛け算記号の写し間違いだったとすれば、納得でしょう。
板書や他人のノートなどを書き写す場合は掛け算記号と英字のx（エックス）は間違いやすいので注意したいですね。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/02/11 09:30

（√２ｘｄｘ）となるのはなぜですか？どう見ても√２ｄｘだと思う自分がいます

＞√２ｄｘだと思う自分が正しいです。
y=x^2-x上の点(x,x^2-x)から直線y=xへ下ろした垂線の長さLは
L=|x^2-2x|/√2だから、y=x上の微小長さをds(=√2dx)とすると
求める体積=∫(s=0→2√2)πL^2dsとなる。ここでs=(√2)xで
xに変換すれば、∫(s=0→2√2)πL^2ds=∫(s=0→2)πL^2√2dx
=∫(x=0→2)π{(x^2-2x)/√2}^2√2dxとなります。