高校物理、放物運動

水平投射をかんがえる。
投げ出された点をOとして、初速度ｖ０の向きにx軸、鉛直下向きにｙ軸をとり、投げ出された時刻を０として時刻tにおける物体の位置を（ｘ、ｙ）速度ｖのｘ、ｙ成分をｖｘ、ｖｙとする。
このとき、計算をすすめると、ｙ＝ｇ／２ｖ０＾２ｘとなりました。
ｇの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか?
また、同様の問題で、水平方向より仰角θに初速度ｖ０でボールを投げだす場合。
投げ出された点をO水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとるとき、時刻tにおける物体の座標を（ｘ、ｙ）速度ｖのｘ、ｙ成分を（ｖｘ、ｖｙ）とするとき、
ｙ＝tanθｘ－ｇ／｛２（ｖ０cosθ）＾２｝ｘ＾２となったのですが、これもｇの正負はどう考えるべきでしょうか?
ｇは鉛直下向きに生じているから負ではだめなんですが、どうしてですか

No.2 ベストアンサー 回答者： Tann3 回答日時： 2014/03/20 22:26

　ｇは重力加速度なので、下向きに働きます。

　ｙ軸のとり方は自由ですが、少なくともご質問にあるように、前半では「鉛直下向きにｙ軸をとり」、後半では「鉛直上向きにy軸をとる」というのは、混乱のもとです。

　とりあえず、ご指定のとおりに解いてみましょう。

　前半では、「鉛直下向きにｙ軸をとり」とありますので、このｇは「正」の値で考え、式もｙ軸のとおり、下向きを生として考えればよいです。

　従って、
・摩擦や空気抵抗を考えなければ、水平方向の加速度はゼロなので、水平方向の速度は初速度のまま変わらない。
　よって、　ｖｘ＝ｖ０
　ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｘ＝０とすると
　　　ｘ＝ｖ０ｔ　　　　（１）

・鉛直方向の加速度はｇ（m/s^2）であり、鉛直方向の初速度はゼロなので、鉛直方向の速度は時間をｔ（秒）として
　　　ｖｙ＝ｇｔ
となる。
　ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｙ＝０とすると
　　　ｙ＝（１／２）ｇｔ^2　　　　（２）
（どうしてこうなるのかは分かりますよね？）

・（１）式と（２）式からｔを消去すると、
　（１）より　ｔ＝ｘ／ｖ０
　これを（２）に代入して、
　　ｙ＝（１／２）ｇ・（ｘ／ｖ０）^2
　　　＝（１／２）ｇ・（１／ｖ０）^2・ｘ^2

　　ここで、Ａ＝（１／２）ｇ・（１／ｖ０）^2　（ｖ０で決まる定数）とおけば、
　　ｙ＝Ａ・ｘ^2

という二次曲線になります。
　ｙ軸は下向きが「正」で、定数Ａは正ですので、「上に凸」の放物線となります。


　後半では、「鉛直上向きにy軸をとる」ので、下向きの重力加速度は「－ｇ」となります。（ｇそのものは「正」の数値です）
　ここでは、初速度は、水平方向より仰角θ（斜め上向き）方向にｖ０ですから、
　・水平方向：　ｖ０ｘ＝ｖ０・ｃｏｓθ
　・鉛直方向：　ｖ０ｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ
となります。

　それ以外は前半と同じですから、次のようになります。

・摩擦や空気抵抗を考えなければ、水平方向の加速度はゼロなので、水平方向の速度は初速度のまま変わらない。
　よって、　ｖｘ＝ｖ０・ｃｏｓθ
　ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｘ＝０とすると
　　　ｘ＝ｖ０・ｃｏｓθ・ｔ　　　　（３）

・鉛直方向の加速度は－ｇ（m/s^2）であり、鉛直方向の初速度は
　　ｖ０ｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ
なので、鉛直方向の速度は時間をｔ（秒）として
　　　ｖｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ　－　ｇｔ
となる。
　ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｙ＝０とすると
　　　ｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ・ｔ　－　（１／２）ｇｔ^2　　　　（４）
（どうしてこうなるのかは分かりますよね？）

・（３）式と（４）式からｔを消去すると、
　（３）より　ｔ＝ｘ／ｖ０・ｃｏｓθ
　これを（４）に代入して、
　　ｙ＝（ｓｉｎθ／ｃｏｓθ）・ｘ　－　（１／２）ｇ・（ｘ／ｖ０・ｃｏｓθ）^2
　　　＝ｘ・ｔａｎθ　－　（１／２）ｇ・（１／ｖ０・ｃｏｓθ）^2・ｘ^2

　　ここで、Ｂ＝ｔａｎθ、Ｃ＝（１／２）ｇ・（１／ｖ０・ｃｏｓθ）^2　（Ｂ、Ｃともｖ０とθで決まる定数。θによらずＣは常に正）とおけば、
　　ｙ＝Ｂ・ｘ　－　Ｃ・ｘ^2
　　　＝　－Ｃ・ｘ^2　＋　Ｂ・ｘ

という二次曲線になります。
　ｙ軸は上向きが「正」で、定数Ｃ（>０）に「マイナス」が付いていますので、「上に凸」の放物線となります。


　「ｇの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか?」というのは、「ｇ」は常に「正」にして、その前につく符号が「プラス」「マイナス」かで判断するようにした方が混乱しません。
　また、ｙ軸がどちらを正方向にしているか、ということも関係します。
　ご質問の問題のように、前半ではｙ軸は下向きが正、後半では上向きが正、という混在はさせず、統一して表記することが大切です。直感的にわかりやすいよう、ｙ軸は上向きを正として、下向きの重力加速度を「－ｇ」と表すのが一番誤解を招かないと思います。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/03/20 15:57

座標系はどのようにとっても構わないのですが、途中で変更すると混乱のもとで大体は大失敗をします。

なお斜交座標もまず失敗します。必ず直交座標をとってください。
また、定数は必ず正の値になるように式を組み立てます。下向きにy軸をとっているので運動方程式は

F=m*αy=mg

αy=g

です。もし上向きにy座標をとった場合は

F=m*αy=-mg

αy=-g

です。

通常は上向きにy座標をとるほうが多いですが、下向きにとっても間違いではありません。


質問者の設定した、投げ出された点をOとして、水平方向をx軸、鉛直下向きにｙ軸をとるという、一貫した方針で進めてください。

水平投射：

αx=0

αy=g

が基礎方程式です。あとはこれを順次時間で積分するだけです。

vx=vx0

vy=gt+vy0

vy0=0故

vy=gt


x=vx0t+x0

x0=0故

x=vx0t (1)

y=gt^2/2+y0


y0=0故

y=gt^2/2　　(2)

(1)よりt=x/vx0,これを(2)に代入して

y=gx^2/(2v0^2)

>ｇの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか?

ｇは正です。


水平方向より仰角θに初速度ｖ０でボールを投げだす場合：

αx=0

αy=g

が基礎方程式です。あとはこれを順次時間で積分するだけです。

vx=V0

vy=gt+vy0

vy0=0故

vy=gt


x=V0t+x0

x0=0故

x=V0t (1)

y=gt^2/2+y0


y0=0故

y=gt^2/2　　(2)

(1)よりt=x/V0,これを(2)に代入して

y=gx^2/(2V0^2)

>ｇの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか?

ｇは正です。


水平方向より仰角θに初速度V0でボールを投げだす場合：

αx=0

αy=g

vx=V0cosθ

vy=gt+vy0

vy0=-V0sinθ故

vy=gt-V0sinθ


x=V0cosθt (3)

y=gt^2/2-V0sinθt (4)


(3)よりt=x/V0cosθ,これを(2)に代入して

y=gx^2/[2(V0cosθ)^2]-xtanθ　　　(5)

>ｙ＝tanθｘ－ｇ／｛２（ｖ０cosθ）＾２｝ｘ＾２となったのですが、これもｇの正負はどう考えるべきでしょうか?
ｇは鉛直下向きに生じているから負ではだめなんですが、どうしてですか gは正です。

質問者の計算は間違いです。下向きにy座標をとっている以上(5)が正解です。

座標系によらず定数は正にとります。