熱。熱気球の問題で質問。

容積1,000m³の熱気球にバーナーで暖めた空気を送り込んで空中に浮上させた。外気温を0℃、圧力を
1013hPa、外気の密度を1.28kg/m³、重力加速度を9.8m/s²とする。

(1)気球にはたらく浮力の大きさを求めよ。
(2)熱気球の総重量を150kgとして、熱気球が浮上するためには、空気の温度は何℃以上にすればよいか。

質問は(2)です。まずこう考えました。

浮力　>　熱気球の重さ + 熱気球内にある気体の重さ　になればよい。

浮力 = 12544 [N]　(1)から。（これは確かな値です。）

熱気球の重さ = 150×9.8 = 1470[N]（確か）

熱気球内にある気体の重さ = ρ×1000×9.8
（暖めると気体の体積が大きくなって気体の密度は小さくなるからこのときの密度をρとした。）

これを解いて ρ<1.13 という関係が出ます。

つまり、外気の密度1.28kg/m³　が　1.13kg/m³より小さくなれば、浮力が勝って浮上する。

1m³の体積がx倍されて密度が1.13kg/m³になったから、

1.28/x = 1.13 で　x = 1.28/1.13 倍に体積は増えたということです。ここまでわかります。問題は次です。

問題文から温度は変化するなーと思ったので、温度一定ではないからボイルの法則は使えないと思いました。
よって、消去法的な感覚と、圧力が一定になりそうな感じ（気球が膨らんだりするから？？）からシャルルの法則を使いました。
そこでシャルルの法則のグラフを描いてこれで解けるだろうなと思っていたのですが、図のように
なっておかしいと思いました。

◆この熱気球の容積は1000m³です。なのに暖めたら、これ以上になります。実際電卓で計算したら1000m³より大きくなりました（穴がなかったら破裂する状態ですよね）。膨張したとして、差分が穴から出ていくと考えるのでしょうか？
でもそんなことしたら結局容積は1000m³だから体積は1000m³のまま変わらないのではないのでしょうか？

まとめると、

・なぜシャルルの法則が使えるのか(消去法じゃなくて)
・◆以下の説明

この2つをわかりやすく教えていただけないでしょうか。物理に自信のある方、分かる方、
どうかよろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： Tann3 回答日時： 2014/05/13 20:56

ご質問にお答えしましょう。

＞・なぜシャルルの法則が使えるのか(消去法じゃなくて)

　熱気球とは、下記リンクの図を見ればわかりますが、密閉された風船ではなく、底に穴のあいた「袋」です。従って、温めても中の空気の気圧は大気圧のままです。
http://www12.plala.or.jp/jsr/sub6.htm

　圧力が一定ですので、「シャルルの法則」を使います。


＞◆この熱気球の容積は1000m³です。なのに暖めたら、これ以上になります。実際電卓で計算したら1000m³より大きくなりました（穴がなかったら破裂する状態ですよね）。膨張したとして、差分が穴から出ていくと考えるのでしょうか？
でもそんなことしたら結局容積は1000m³だから体積は1000m³のまま変わらないのではないのでしょうか？

　そうです。温めても、体積は1000m^3のまま変わらないのです。膨張した空気のうち、1000m^3を越える分は、開口部から外に出て行ってしまいます。

　シャルルの法則では、０℃のときのT0（度K）のときの体積V0は、バーナーで温めて温度Ta（度K）になったときの体積Vaは

　　　　V0 / T0 = Va / Ta　　　　（Ａ）

と書けますので、

　　　　Va = V0・（Ta / T0）　　　（Ｂ）
　　　　Va / V0 = Ta / T0　　　　（Ｃ）

となります。

　ここで、問題を解く上では、（Ｂ）式を使って「V0＝1000（m^3)としてVaの体積を求める」ということが目的ではありません。

　ご質問文にあるように、温度Taのときの空気の密度ρを知りたいのです。
　空気の密度ρは、温度T0のときの密度をρ0として、

　　　　ρ＝ρ0・（V0 / Va ）

で求まります。V0がVaに膨張したら漏れて行ってしまう、と心配する必要はありません。（Ｃ）の関係を使えば、Vaを使わなくとも、

　　　　ρ＝ρ0・（T0 / Ta ）　　　　（Ｄ）

と書けますから。

　そして、（Ｄ）式を使って、「浮力が勝って浮上する密度ρ＝1.13kg/m^3」になるTaが、問題（２）の答になるわけです。
　温度は絶対温度を使う、ということを間違えなければ、答は簡単な計算で求まると思います。

この回答へのお礼

(D)の式で解答と同じ温度が求まりました。
この回答をベストアンサーにしました。
丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2014/05/14 22:55

No.6 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/05/13 21:42

　#4, 1です。

　ようやく自分の勘違いに気が付きましたorz。すみません。

>(1)気球にはたらく浮力の大きさを求めよ。

　ここは空気中にある1,000m³の物体に外気が及ぼす力という意味の浮力だったんですね。ずっと、実際に浮き上がろうとする力と思い込んでいて、

>(2)熱気球の総重量を150kgとして、熱気球が浮上するためには、空気の温度は何℃以上にすればよいか。

と、ここで150kgが出て来るのがおかしいと思い込んでいました。なので「(1)の時点で不足してるじゃん」とあらぬ非難を設問者や質問者様に向けてしまっていました。

　不足していたのは私の理解力でした。私以外の誰も、少しも間違いはありません。私だけがおかしかったです。ご迷惑をおかけしまして、大変申し訳ありません。m(_ _)m

　なお、熱気球内の空気の温度の計算やシャルルの法則の適用については、は#1の通りです。

この回答へのお礼

気にしないでください。

お礼日時：2014/05/14 22:55

No.4 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/05/13 19:27

　補足、承りました。

#1です。

>設問は間違っていません。しかも気球にはたらく浮力はρVgで求まります。僕は(1)は解けたので省略しただけです。

　熱気球の気球内部の空気を除いた重量が150kgということが設問に示されていれば、設問は間違いではありません。それは、

再引用>熱気球の重さ = 150×9.8 = 1470[N]（確か）

の「150」という数値のことです。この150がどこから来たかですね。

　150kgが熱気球の重量として設問に示されていればOKで、この質問に示された数値から、気球内部の気体温度が#1で計算したように求まります。

　逆に模範解答だけに出て来るなら、設問としては不適切で、解けない設問となります。

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/05/13 19:26

念のため(1)から・・(2)は(1)を正しく理解していたら解けるはずです。

(1) 浮力はもっぱら大気の(密度)×(容積)×(重力加速度)ですから、ρVg
　　中に何が入っていてもこれだけの浮力を受けます。

(2) 熱気球の総重量を150kgとして、熱気球が浮上するためには、空気の温度は何℃以上にすればよいか。
＞消去法的な感覚と、圧力が一定になりそうな感じからシャルルの法則を使いました。
　熱気球は下方が解放されています( https://www.google.com/search?hl=ja&q=%E7%86%B1% … )から、体積は考えなくて良いです。
　単純に(1)と同じように密度と体積と重力加速度をかければよい。
　気体の密度は、(絶対)温度に反比例します。
　　気体の状態方程式 PV = nRT
　　シャルルの法則だと、V = kT　　k=(nR/P)
　　密度 = (質量)/(体積) ですから、(密度) ∝ (質量)　体積は一定なので・・

この回答へのお礼

解説ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/14 22:57

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/05/13 19:18

浮力は、この気球によって排除される（つまり気球と同じ体積）０℃、１０１３ｈPaの

空気に働く重力と同じ大きさなので、問題で与えられた条件のみで計算すること
ができます。

普通によく見る熱気球は袋が密閉されているのではなく外気とツーツーになって
いると思うのですが、私が「普通に見る」ものが本当に普通かは判らず、その点
問題分も説明不足かとも思いますが、まあ「容積１０００ｍ３」と言っているので、
空気が膨張して１０００ｍ３を超える部分は外気に逃げていくということではないか
と思います。

考え方としては圧力は一定で０℃の空気を加熱したら
Ｖ／Ｔ＝Ｖ’／Ｔ’
にしたがって体積が増え（密度が下がり）るが、１０００ｍ３を超える部分は逃げて
行ってしまうので、気球内にある熱い空気の質量はあくまで１０００ｍ３分で
考えるということではないでしょうか？

この回答へのお礼

解説ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/14 22:57

No.1 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/05/13 17:42

　問題自体がおかしいか、もしくは、問題文を読み間違えていますよ。

>(1)気球にはたらく浮力の大きさを求めよ。

　設問に熱気球内の空気の温度があれば求められます。でも温度が示されず、

>浮力 = 12544 [N]　(1)から。（これは確かな値です。）

となっています。示されたデータでは浮力は出ません。

　しかし、外気の密度×1,000m³÷重力加速度＝12544[N]です。浮力が同じだけあるということは、気球内に空気がないということになります。これ、気球内の空気が外気と同じのときに気球が下向きに向かう力ならわかります。

>熱気球の重さ = 150×9.8 = 1470[N]（確か）

　おそらく気球内の空気の重量を除いたものが150kgなのでしょうね。それが設問で与えられていなければ解けません。気球内の気体を熱した結果、気球の重量分の浮力が生じたら気球は浮くことができる、ということです。

　気球は150kgですから、気球内の空気1,000m³の重量が、同じ体積の外気の重量1280kgより、150kg軽くなれば気球は浮きます。ここから気球の重量をキャンセルできるようになる気球内の気温を求めてみます。

　273×{1280/(1280－150)}≒309[K]＝36[℃]　（※0[K]＝273[℃]とした）

　この計算には空気を理想気体としてシャルルの法則を適用しています。単に最もシンプルな解として、こうしてみましたが、実際の大気の特性を考慮して計算しようと思えば、できるでしょう。

P.S.

>◆この熱気球の容積は1000m³です。なのに暖めたら、これ以上になります。

　熱気球は下に穴が開いており、そこをガスバーナーなどで熱します。熱せられた空気は膨張し、増えた分は穴から出て行きます。ですので、体積一定と考えてよいです。

　もし熱気球が密閉になっており、内部を外気と同じ1気圧に保ったまま膨張させるなら、増えた体積で考えることになります。計算は今はしませんが、もっと低い温度で熱気球は浮きます（熱する効率を考えなければ、普通の熱気球より有利といえる）。

　もし熱気球が密閉になっており、容積を一定に保つなら、熱しても気球内部の気圧が高まるだけで、浮力は一切生じません。気圧が高まって気体の密度が大きくなる効果と、温度が高まって気体の密度が小さくなる効果がキャンセルするためです。

この回答への補足

設問は間違っていません。しかも気球にはたらく浮力はρVgで求まります。僕は(1)は解けたので省略しただけです。

補足日時：2014/05/13 18:06

この回答へのお礼

解説ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/14 22:59