恒等式

xの恒等式(x＋1)(x＋2)……(x＋n)=(a（n）)＊（x＾n)＋(a(n-1))*x＾（n-1)＋…(a（2）)＊(x＾2)＋(a（1）)*x＋(a（0）)について、
Σ(n k=0)a(k)＝b(n)とおくとき、ｂ(n)を求める方法がわかりません。


どうして、x＝1を代入するのかわかりません。
X=1を代入した場合
(1+1)(1+2)・・・(1+n)=a(n)+a(n-1)+・・・+a(1)+a(0)
になります。
しかし、答はb(n)=(n+1)! ですが、このように表すことができるのですか？

もしよろしければ、途中式をつけて丁寧におしえてほしいです。
おねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： hinebot 回答日時： 2004/05/19 13:46

>N!=n＊(n-1)*(n-2)*3*2*1

>ですが、(n+1)!だとむずかしくなります

そう難しく考えることはないと思うんですが…。

=1*2*3*4*5*・・・*n*(1+n)

ここまでは大丈夫ですよね。
和・積ともに交換法則が成り立ちますから 1+n=n+1として順番をひっくり返せば

=(n+1)*n*(n-1)*・・・*5*4*3*2*1　　　－－－(#)

になります。
ここで、
n!=n＊(n-1)*(n-2)*・・・*5*4*3*2*1
の式と見比べましょう。（これは階乗の定義そのものですが）
同じnだと紛らわしいので、nをmに変えちゃいましょうか。
m!=m*(m-1)*(m-2)*・・・*5*4*3*2*1
これは大丈夫ですよね。ここでm=n+1とすると
(n+1)!
=(n+1)*(n+1-1)*(n+1-2)*・・・*5*4*3*2*1
=(n+1)*n*(n-1)*・・・*5*4*3*2*1

ほら、(#)の式と一致しますよね。

>1から(1+n)までをかけているので
>=(n+1)!

と仰っているのは、階乗の定義に当てはめているに過ぎないのです。

No.2 回答者： komomomo 回答日時： 2004/05/19 13:43

＞=(n+1)!

についてよくわかりまえん。
N!=n*(n-1)*(n-2)*3*2*1
ですが、(n+1)!だとむずかしくなります

補足の回答ですが、

N!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1
(n+1)!=(n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...3*2*1

この二つの式を見ると、似ていることに気づくと思います。Ｎ！は、１からＮまで掛けるという記号になっています。そして（n+1)! は、一番最後を(n+1) にした物になっているんですよ（＾ｖ＾）

No.1 回答者： mikelucky 回答日時： 2004/05/18 21:52

b(n)=Σ(n k=0)a(k)

ですね
シグマを書き下すと
Σ(n k=0)a(k)=a(n)+a(n-1)+・・・+a(1)+a(0)

これはｘの恒等式に1を代入したときの右辺と同じになります(１は何乗しても１なので)

よって恒等式から
a(n)+a(n-1)+・・・+a(1)+a(0)
=(1+1)(1+2)・・・(1+n)
つまり
=2*3*4*5*・・・*n*(1+n)
ですね。
ここに１をかけても同じ値になるので

=1*2*3*4*5*・・・*n*(1+n)
1から(1+n)までをかけているので

=(n+1)!


ゆえにb(n)=(n+1)!　です

この回答への補足

＞=(n+1)!


についてよくわかりまえん。
N!=n＊(n-1)*(n-2)*3*2*1
ですが、(n+1)!だとむずかしくなります

補足日時：2004/05/19 07:47