a,bを定数、xはtに無関係な変数とする。
(1)∫(a~b)f(t)dtは定数である。
、、、f(x)の不定積分の1つをF(x)とすると、
∫(a~b)f(t)dt=[F(t)][上b、下a]=F(b)-F(a)
すなわち∫(a~b)f(t)dtはtの値に無関係な定数となる。とあるのですが、どういう意味でしょうか?
定積分の結果は不定積分∫f(t)dt=F(t)+Cのように、tの関数にはならず、定数になる。という意味でしょうか?それとも∫(a~b)f(t)dt=∫(a~b)f(x)dxのように、積分変数は結果に無関係という意味でしょうか?
(2)∫(a~x)f(t)dt,∫(a~b)f(x,t)dtは積分変数tに無関係で、xの関数である。
、、、∫(a~x)f(t)dt=F(x)-F(a)であるから、∫(a~x)f(t)dtはtに無関係でxの関数であるというのはどういう意味でしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
質問者独自の式の書き方をしないで」他の質問や回答にならって、数式や積分の書き方をするようにしてください!
(1)
>∫[a, b] f(t)dtは定数である。
>、、、f(x)の不定積分の1つをF(x)とすると、
F(x)をf(x)の原始関数とすると、
>∫[a,b] f(t)dt=[F(t)][a,b]=F(b)-F(a)
>すなわち∫[a,b] f(t)dtはtの値に無関係な定数となる。とあるのですが、どういう意味でしょうか?
I=∫[a,b] f(t)dtの積分変数のtは積分の中だけで通用する仮の変数で、積分範囲[a,b]の下限a,上限bが定数の定積分であれば、積分結果の積分値 I は定数となる。つまり、結果の式には、tは含まれない。ということです。
>定積分の結果は不定積分∫f(t)dt=F(t)+Cのように、tの関数にはならず、定数になる。という意味でしょうか?
積分の範囲[下限、上限]に変数が含まれなければ、その通り、定数です。
>それとも∫[a, b] f(t)dt=∫[a, b] f(x)dxのように、積分変数は結果に無関係という意味でしょうか?
これも正しいですね。積分変数は積分の中だけの仮の変数ですから、変数の文字は何でも良く、範囲[a,b]の定積分の結果の式(値)からは消えてなくなります。
(2)
>∫[a,x] f(t)dtや∫[a,b] f(x,t)dtは積分変数tに無関係で、xの関数である。
その通りです。
∫[a,b] f(x,t)dtの tは積分変数で積分の中だけの仮の変数である(積分結果の式には残らない)のに対し、変数xは積分の中と外に共通な変数であり、積分結果の式にはxが残ります。つまり、積分結果はxの関数になるということです。
>、、、∫[a,x] f(t)dt=F(x)-F(a)であるから、∫[a,x] f(t)dtはtに無関係でxの関数であるというのはどういう意味でしょうか?
積分変数のtは積分の中だけの仮変数ですから、積分結果の式(積分値)には tは消えてなくなり、積分の上限のxだけ積分結果の式に残ります。つまり、積分結果の式は xの式、すなわち xの関数である。という意味です。
お分かり?
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