閲覧ありがとうございます。集合・位相の問題で分からないところがあるので、どなたか力をお貸しください。
以下の問13.2で
http://i.imgur.com/zeSf8L1.jpg
解答はこのように書いてありますが、
http://i.imgur.com/kPAKz0R.jpg
シュワルツの不等式をどのように使うのかと、距離関数になることの証明が分からず困っています。
どちらか一つでも構いませんので、理解できる方、どうかよろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
引用された回答のkまでの和での最初の不等式の理由です:
任意の自然数kについて、R^k では
||x-y||<=||x||+||y|| (x,yはR^kの任意の元)が、シュワルツの不等式から導き出せます
(両辺を二乗して、xとyの内積の絶対値が||x||・||y||以下になることを使えばいいです)。
l^2の任意の元x,yに対し
d_∞(x,y)>=0,
d_∞(x,y)=0 if and only if x=y,
d_∞(x,y)=d_∞(y,x)
はすぐでてきます。
引用された回答のkまでの和でk->∞にすると、
d_∞(x-y,0)<=d_∞(x,0)+d_∞(y,0)..........................(A)
がでます。
以下距離の三角不等式の示し方です:
l^2の任意の元x,y,zに対し
d_∞(x,y)=d_∞(x-y,0) (d_∞の定義より)
=d_∞((x-z)-(y-z),0)
<=d_∞(x-z,0)+d_∞(y-z,0) (x-z,y-zをそれぞれl^2の元とみて(A)をあてはめる)
=d_∞(x,z)+d_∞(y,z)
=d_∞(x,z)+d_∞(z,y)
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