斜方投射での包絡線（到達可能範囲）の求め方

仰角θの斜方投射で、到達可能範囲の式としてはy=-g/(2・Vo^2)×x^2+Vo^2/2gとありますが、これを求める方法をご存じないでしょうか。

因みに速度式Vx=Vo・cosθ、Vy=Vo・sinθ-gt、と位置を表す式x=Vo・t・conθ、y=Vo・t・sinθ-1/2・gt^2から、θを消去してtの2次式の判別式を利用するとのこと。

以下の方法もあるのですが、なんとなくしっくりきません。
http://www14.atwiki.jp/yokkun/m/pages/250.html?g …

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/09 22:20

これはVoが一定という条件下で想定できる到達範囲ですが

実際上この条件を課すことがどれほど意味があるのかよく知りません。

求め方はいたってシンプルです。

x=Vo・t・cosθ　　(1)

y=Vo・t・sinθ-1/2・gt^2　(2)

(1)より

x/Vo・t=conθ　　　(3)

(2)より

(y+1/2・gt^2)/Vo・t=sinθ　(4)

con^2θ+sin^2θ=1

に(3),(4)を代入して

[x/Vo・t]^2+[(y+1/2・gt^2)/Vo・t]^2=1

x^2+(y+1/2・gt^2)^2=(Vo・t)^2

(1/4)g^2t^4+ygt^2+y^2+x^2-Vo^2・t^2=0

(1/4)g^2t^4+(yg-Vo^2)t^2+y^2+x^2=0

tの４次式ですがt^2=uの２次式であって、

(1/4)g^2u^2+(yg-Vo^2)u+y^2+x^2=0

u≧0かつ判別式D≧0

がuの存在条件です。

判別式D≧0は

(yg-Vo^2)^2-g^2(y^2+x^)≧0

展開して整理すると

y≦-gx^2/2Vo^2+Vo^2/2g

この上限が求める式です。

u≧0については

yg-Vo^2≦0

y≦Vo^2/ｇ

となりますが

y=-g/(2・Vo^2)×x^2+Vo^2/2g

も最大到達高さが

Vo^2sin^2θ/2g

なので満たされていると考えられます。

No.2 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2014/08/09 22:21

普通に包絡線の十分条件である（参考URLの最初にもある）連立方程式を解くだけと思いますし，リンクされているのもそうやっていると思います．

参考までに本だと例えば『解析教程（上）』のII.3.2に「弾道曲線の包絡線」という節があり，ほぼ同じことをしています．

参考URL：https://ja.wikipedia.org/wiki/包絡線

この回答へのお礼

大変失礼しました。しっくり来ないと言うより理解出来ていなかったと言うことでした。
F=0とδF/δt=0の連立方程式の方が確かに早いです。

お礼日時：2014/08/10 08:40

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/09 23:07

＃１です。

最後の部分の式を別のものを引用してました。


「となりますが

y=-g/(2・Vo^2)×x^2+Vo^2/2g　（***）

も最大到達高さが

Vo^2sin^2θ/2g

なので満たされていると考えられます。」



（***）は

y=Vo・t・sinθ-1/2・gt^2

と差し替えます。

No.4 回答者： tadopika 回答日時： 2014/08/10 10:53

＞以下の方法もあるのですが、なんとなくしっくりきません。

私も初め、そのページの解説を見て、x, y, θの関係式をθで偏微分して、これを=0とした式の意味が分かりませんでした。その後、この背景が理解できましたので、解説します。

x=Votcosθ ...[1]
y=Votsinθ-gt^2/2 ...[2]

[1], [2]よりtを消すと、
y=xtanθ-gx^2/2Vo^2*((tanθ)^2+1) ...[3]

x=p に固定して、θを変化させたときのyの最大値をqとすると、(p,q)の描く軌跡が包絡線になります。
[3]で、x=p としてtanθについて整理すると、
y=-gp^2/2Vo^2*(tanθ-Vo^2/gp)^2-gp^2/2Vo^2+Vo^2/2g

yが最大（y=q）になるのは、tanθ=Vo^2/gp のときで、
q=-gp^2/2Vo^2+Vo^2/2g
包絡線の式が得られました。

リンク先の方法では、[3]からθについて偏微分し、これを=0としています。
これは、上記で言うと、[3]でyが最大（極大）になるθを与えていることに相当します。