スーパーボールを下り坂に投げた場合のその後。

Question

下り坂の道路に向かってスーパーボールを投げた場合、ピョンピョンと跳ねながら坂を下っていくと思います。

その跳ねながら坂を下っていくスーパーボールは、道路の勾配に関係なく、

・やがては跳ねなくなり坂をコロコロと転がっていくのでしょうか？
・それともいつまでも跳ねているのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

foomufoomu · Accepted Answer

これは面白い質問ですね。

スーパーボールを階段に落とすと、いつまでも跳ね続ける・・・というか、落ちるたびに跳ねる高さが大きくなっていきますね。

じゃあ、斜面ではどうなるか・・・
斜面で考えると難しいので、ビデオカメラで、カメラを斜めに倒して写しているように、水平面で弾んでいて、重力が斜めに作用していると考えるとよいでしょう。
この場合、重力は水平成分と、鉛直成分に分けることができます。
水平成分はボールを水平方向に加速させますが、跳ねる高さには影響がありません。
鉛直成分は普通に重力がかかっているのと同じ(普通よりは弱いですが)なので、やがて跳ねるのは止まってしまいます。
この考え方だと、最後は、坂を転がるだけで、跳ねなくなってしまいます。

しかし、スーパーボールは摩擦が大きくて、坂を転がすだけでも勝手に跳ね始めます。坂に沿って移動する速度は重力で加速されるのに、ボールが転がる速さを直接加速するものはないので、斜面からの摩擦だけが転がる速さを加速させようとする力になり、これは移動に対してブレーキをかける力になって、移動速度が減った分だけ跳ねるエネルギーが生まれるためです。

なので、坂を落ちるスーパーボールは、永遠に跳ね続けると思います。（はじめから、坂を転がるだけで考えればよかったですが）

Tann3 · Answer

物理的には、「跳ね上がる」（跳ね返る）ことと「坂道を転がり落ちる」ことは独立に考えればよいのです。

水平面で、跳ね返りを繰り返すと、やがて跳ね返る高さがだんだん低くなって、やがてほとんど跳ね返らなくなります。「反射係数」が1より小さいのと、空気の抵抗があるからです。

これは、反射面が斜面であっても同じです。跳ね返りを繰り返すと、やがて跳ね返る高さがだんだん低くなって、やがてほとんど跳ね返らなくなります。
　より正確に言えば、水平面では全ての跳ね返りの力が鉛直上向きであるのに対して、斜面では跳ね返りの力が鉛直上向きと水平方向に分散されますので、斜面は鉛直方向の跳ね返りの力が小さく、上下方向には早く跳ね返り高さが小さくなります。

質問者さんが、「いつまでも跳ねている」と考えた根拠は何ですか？　それができれば、一種の「永久機関」が実現できます！

rabbit_cat · Answer

普通のスーパーボールでは
いつまでも跳ねているようにするのは、無理だと思います。
「普通の」というのは、道路に衝突した入射角と反射角が等しくなるように反発するようなスーパーボール
という意味です。

しかしながら、入射角と反射角が等しくないように反発するスーパーボールを使って、うまいことピンポイントで条件出しすれば、
・いつまでも跳ねているようにする
ことも可能だと思います。
ようは、反発による速度低下分が、次の衝突までに、位置エネルギーによって、ちょうど（運動方向も含めて）回復されればよいわけです。

入射角と反射角が等しくないように反発するスーパーボールは、例えば、ボールの左半分と右半分で、ゴムの密度や固さなんか微妙に異なる（非等方的）ようにしておけばできます。

ただし、非等方的なスーパーボールは必然的に回転してしまうわけで、毎回、全く同じように反発させる（全く、同じ面で道路に衝突する）のは、コンピューター上のシミュレーションならともかく、実施には、ほとんど不可能ですかね。
完全に精密に設計された実験環境なら可能性はあるかも。

ここまで本気でやれば、大学の卒業論文ぐらいにはなるか。

rabbit_cat · Answer

さっきは、直感的に、普通の（入射角と反射角が等しくなるように反発するような）スーパーボールでは、無理そうだと思ったけど、もしかしたら、
普通の（入射角と反射角が等しくなるように反発するような）スーパーボール
の場合も、いつまでも跳ねているような条件が存在するのかも。
Vx： 最初の衝突直前の鉛直方向の速度
Vy： 最初の衝突直前の水平方向の速度
θ： 斜面の角度
ｅ： 反発係数
として、
２回目の衝突直前の鉛直方向の速度を、f(Vx,Vy,θ,e)
２回目の衝突直前の水平方向の速度を、g(Vx,Vy,θ,e)
と表して、

f(Vx,Vy,θ,e) = Vx
g(Vx,Vy,θ,e) = Vy

が満たされる条件を探せばよい。変数４つで、制約条件２つなので、解が存在する可能性はそれなりにありそう。（ない可能性もあるけど）
大学の物理の入試問題にできそう。

ORUKA1951 · Answer

・やがては跳ねなくなり坂をコロコロと転がっていくのでしょうか？
・それともいつまでも跳ねているのでしょうか？
質問の意味は・・
Q:水平な床に垂直に落とした場合は停止するまではね続ける。
　===水平な場合もいつまでもはねているわけではない==!!! ここを理解されているのか不明。

しかし、斜面の場合は？

これは、水平な面も垂直な面も同じでいずれジャンプしなくなります。ただ斜面の場合は給は転がりますから、質問としては意味無いですね。
　問題は、ジャンプし続ける時間と静止もしくは転がるまでの時間が違うかと言う意味でしたら斜面のほうが早くジャンプは収束します。
　↓　　斜面に衝突した時点で、運動エネルギーの一部は球の回転エネルギーに
＼○→　変換されます。
　＼　　　反射方向が変わると同時に、急に回転が加わります。そして次に着地するときは
さらに、回転運動が加わります。
　言い換えれば、反射して高さ(運動エネルギー=位置エネルギー(反射後の高さ)ではなく、回転運動と言う形にエネルギーが変換されていきますから、ジャンプの時間は水平面に比較して、ずっと早く静止--すなわち転がる形にエネルギーは変換されてしまいます。
　転がりによるエネルギーの損失は、反射時の熱への変換より少ないですから、斜面から受ける回転エネルギーの増加を差し引くと、斜面のほうがはるかに長く運動エネルギーは保有され続けます。
　位置エネルギー(衝突時の運動エネルギー)は水平な床では熱エネルギーとして早々に失われるが、斜面だとずうっと長く保有し続けられる。ともいえます。

rabbit_cat · Answer

前の２つの回答は、回転を考慮していない（ボールと斜面の摩擦については無視した）ものでしたが、
実際のスーパーボールを考えてみると、たしかに＃５さんの言われるとおり、ボールと斜面の摩擦は相当に大きなはずで、ある程度以上、きつい斜面であれば、かなり広い条件（投げる速度や方向など）のもとで、
スーパーボールはいつまでも跳ね続ける気がしてきました。

むしろ「スーパーボールをコロコロと転がすこと」のほうが難しそう。
（それこそ、斜面の上にボールを静止させた状態から手を離しても、いつか、かってに飛び跳ねだす）

ORUKA1951 · Answer

No.4です。
>>前の２つの回答は、回転を考慮していない（ボールと斜面の摩擦については無視した）ものでしたが、
　いいえ、ちゃんと回転を考慮しています。
＞　↓　　斜面に衝突した時点で、運動エネルギーの一部は【斜面との摩擦によって】
＞＼○→　球の回転エネルギーに変換されます。
＞　＼　　　反射方向が変わると同時に、急に回転が加わります。そして次に着地するときは
＞さらに、回転運動が加わります。

斜面を転がすだけで飛び始め始める事はありません。
　これは斜面の上のボールの挙動を実験したことがあれば経験があるはずです。すべりの良い斜面を球と直方体(車輪付き)を滑らせれば分かりますが、直方体のほうが早く転がり落ちます。ガリレオの実験じゃないが、もちろん重さには関係ありません。
　なぜ、球や円柱のほうが遅くなるかと言うと、位置エネルギーが回転エネルギーに変換されてしまうからです。
　球や円柱を転がす時に、摩擦によって回転運動エネルギーに変換されることを忘れてはなりません。
　スーパーボールは特に摩擦も強いから回転を与えて床に落とすと前後にぴょんぴょん飛び跳ねますね。

斜面を転がるスーパーホールが勝手に飛び跳ね始める事はありません。斜面に凹凸やボールが凸凹していたら斜面から浮くこともありますが、それは着地の時に摩擦によって回転に上乗せされますから、いずれ転がり落ちます。
　水平な床に落とすより早く振動は収束します。
　スーポーボール・・色々遊びましたが・・

Dio_Genes · Answer

定性的には、まず極端な場合を考えてみるといいです。単純化のため、ボールは回転しないとしてみます。さらに水平にボールを投げるとしてみます。とりあえず反発係数は、0より大きく、1未満だとしておきます。また、空気抵抗は無視します。

放物運動の基本として、水平方向には、水平方向の初速でずっと進みます。垂直方向は重力加速度で加速して行きます（要は落ちる）

坂が限りなく緩いと考えると、平らな地面ということになります。まず垂直方向を考えると、落ちては跳ねを繰り返しつつ、最大の高さはだんだん下がります。この現象は、数学では無限級数の和として知られていて、垂直方向に跳ねなくなるのは有限の時間だということが分かっています。

水平方向の進み方は、垂直方向に跳ねられる時間の間だけ、水平に放った初速で進みます。有限時間で跳ねなくなるのですかた、跳ねながら水平方向に進める時間もそれになり、ある時間以降は転がるだけになります。

もちろん、この状況は「有限時間で跳ねなくなる、跳ねながら進む距離も有限」です。

今度は坂が限りなく急だと考えると、垂直ということになります。この場合は、水平にボールを放り出したら、全く坂にボールは接触しません。放物線を描いて落ちて行きます。跳ねるのが０回も含めるとすれば、この状況は「永遠に跳ね続けるし、距離も無限」ということになります。

垂直から少しだけ傾斜をつけてみるとします。1回目にボールが接触する頃には、大変な高さを進んでいることになるはずです。最初に水平方向に放りだした初速をvとすれば、水平方向はずっ速度とvです。1回目のボールと坂の接触までに時間tかかったとすると、垂直方向には速度gtになっています。

gtはvよりずっと大きいはずですから、ボールは坂へほとんど垂直に突っ込んで行きます。坂は斜めですから、坂に当たったボールは水平方向へいくらか速度を得ます。水平方向の初速vは全く減衰しません。反発係数が1未満でも、水平方向に減速する力は無いからです。水平方向へは、元のvより大きい、v＋v1といった速度で加速されます（v1は、v1＞0の速度：今は具体的に計算しない）。反発係数がいくら低くても、跳ねるたびに加速していくわけです。

垂直方向はどうでしょうか。ここで考えやすくするため、いったん45度の坂だと考えてみましょう。真っ直ぐ垂直方向で落ちてきたボールなら、水平方向へ跳ね返ります。垂直方向については０になります。

そして、最初に何をしたかを思い出してみると、ボールは水平方向に放った、つまり垂直方向の初速は０なのでした。だとすると、垂直方向については、45度でリセット、45度以上だと、垂直方向にさらに加速するということになります。

これらは反発係数がいくらであろうと、45度以上の傾斜なら水平方向にも、垂直方向にも加速しながら、つまりより激しく跳ねながら、坂を下っていくということになります。

以上をまとめると、90度～45度の坂であれば、反発係数に関係なく、跳ね方が激しくなりつつ、いつまでも坂を下って行くということになります。

傾斜のない平面、つまり0度の坂だと、反発係数によって決まる時間で跳ねなくなるのでした。45度以上だと、いつまでも跳ねながら下るということも分かりました。

すると、0～45度のどこかで、いつかは跳ねなくなるか、いつまでも跳ねるかの境界となる坂の角度がある筈だ、ということになります。それを回答と致しておきます。

P.S.

境界となる坂の角度の計算は面倒になりそうなので、やめました。ネットで探せば計算している人がいるかもしれません。回転も考慮するとさらにややこしくなります。

foomufoomu · Answer

No.8回答は、一見正しそうですが、反射するたびに角度が小さくなり(下向きになり)、どんどん斜面に近い角度になることを見落としています。
摩擦、回転を考えない場合は、NO.5に私が書いたように考えるのが簡単です。

foomufoomu · Answer

＞ただ，シミュレーション結果で不思議に思ったのが，”跳ね方が不規則”
＞だったことです．最初はぴょんぴょん跳ねていましたがすぐに
＞殆ど跳ねなくなり（転がっている状態），と思ったらまたすぐぴょん
＞ぴょんと跳ねていきました．
回転、摩擦を考えたシミュレーションですね。
スーパーボールなので、不規則な反射をするのは、普通のことだと思います。
私の回答の通りだと、跳ねているうちは、どんどん反射が小さくなり、転がり始めるとまた反射します。

＞坂の勾配は15度，反発係数は0.8，静止摩擦係数は0.9，動摩擦係数は0.3です．
動摩擦係数が小さすぎる気がします。ほとんどの場合、静止摩擦と動摩擦は、それほど違いないものです。
それとも転がり摩擦ですか？　それなら妥当な数字の気がします。

スーパーボールを下り坂に投げた場合のその後。

物理的には、「跳ね上がる」（跳ね返る）ことと「坂道を転がり落ちる」ことは独立に考えればよいのです。

普通のスーパーボールでは

さっきは、直感的に、普通の（入射角と反射角が等しくなるように反発するような）スーパーボールでは、無理そうだと思ったけど、もしかしたら、

・やがては跳ねなくなり坂をコロコロと転がっていくのでしょうか？

これは面白い質問ですね。

前の２つの回答は、回転を考慮していない（ボールと斜面の摩擦については無視した）ものでしたが、

No.4です。

定性的には、まず極端な場合を考えてみるといいです。

No.8回答は、一見正しそうですが、反射するたびに角度が小さくなり(下向きになり)、どんどん斜面に近い角度になることを見落としています。

＞ただ，シミュレーション結果で不思議に思ったのが，”跳ね方が不規則”

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　定性的には、まず極端な場合を考えてみるといいです。