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こんばんわ。独学で勉強してるのですが、どうしても分からないんで教えてください。
凸レンズと凹レンズを重ね、上から600nmの光を当てたときの5番目の暗環の半径はいくらでしょうか??二つの曲率半径は3m及び4mです。

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A 回答 (1件)

 


 
>>こんばんわ。独学で勉強してるのですが
曲率半径R1の凸レンズと同R2の凹レンズを重ね
R1<R2
上から波長λの光を当てた
ときのニュートンリングの暗環の半径は? <<

こんばんわ。独学ということなので;


1.
準備;
光(電磁波)は反射すると波の位相が180度ひっくり返ります。
数学で円の方程式を習ったときと同じxy座標を使います。
レンズを重ねると一点で接するから、その点を通る断面を考え、その断面を横から見て、xy座標の原点を接触点に合わせます。


2.
円の式は、中心が原点なら
  x^2+y^2=R^2
です。
中心がyの上方向にaずれた円なら、
  x^2+(y-a)^2=R^2
です。
で、重ねたレンズの中心は原点からR1とR2上にずれてるのだから、
凸  x^2+(y-R1)^2=R1^2
凹  x^2+(y-R2)^2=R2^2
となります。


3.
凸の式だけ書きますが、まずカッコを開いて
  x^2+y^2-2yR1+R1^2=R1^2
  x^2+y^2-2yR1=0
  x^2=2yR1-y^2=2yR1(1-y/2R1)
ここで、
干渉縞は隙間が非常に小さい所で見えるので y<<R1 です。するとカッコ内はほぼ1になって、
  x^2≒2yR1
と近似できます。見やすいように書くと
  y≒(1/2R1)・x^2
であり、放物線の式です。おなじくもう一方のレンズも、
凹  y≒(1/2R2)・x^2
となります。
レンズ間の隙間はyの差ですから、隙間をdとすれば
  d=(1/2)・(1/R1-1/R2)・x^2
です。R1<R2だから隙間がプラスになるように引きました。


4.
光はこの隙間を往復するので、
  2d=光の波長λ
のとき、
上のレンズ表面から出て、下のレンズ表面で反射し、上のレンズ表面に帰ってきた光は、(反射で位相が180度反転するので)元の光と打ち消し合います、つまり暗く見えます。
これは距離が波長の整数倍でも同じ事が起きるので、整数をmとして
  2d=mλ
dの式を入れると
  (1/R1-1/R2)x^2=mλ
ゆえに
  x^2=mλ/(1/R1-1/R2)
  x=√(mλ/(1/R1-1/R2))
と求まりました。


5.
まず、mがほとんどゼロならxもゼロ → 中心は暗い
あとはm=1,2,3‥のところが暗い。
視線を断面からレンズ正面に変えると、暗いxの所は同心円に見えますね。


6.
余談;
普通のニュートンリング鑑賞器は上が凸レンズで下は平面ガラスです。平面の曲率半径は無限大なので、4項の最後の式のR2に代入すると、
  x=√(mλ/(1/R1))
   =√(mλR1)
と、よくある式になります。
以上。
 
 
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この回答へのお礼

非常に丁寧な回答ありがとうございます!
一から説明してくれてとっても分かりやすかったです。

お礼日時:2004/05/30 11:40

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