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直線上を伝わる、2つの逆向きの波(波長は同じ)が重なる場合、その2つの波の振幅が同じであれば、定常波が生じます。ではその2つの波の振幅が異なる場合は、どうなるのでしょうか。例えば、右向きに進む波Aは振幅10cm、左向きに進む波Bは振幅5cmの場合、です。私はこの波AとBとの重なりの結果として定常波はできないように思うのですが、どうでしょうか。

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A 回答 (4件)

MATLABによるシミュレーション。




赤と青の波が反対方向に進む波で、紫の波が合成波です。

#2の回答に貼られたWikiの「導入」の章にある最初の式を使えばわかりやすいかと(タイプするのが面倒なので位相は無視します)。
y1(x, t) = A1*sin(ωt-kx)
y2(x, t) = A2*sin(ωt+kx)
振幅A1とA2は異なるものとします。
合成波は、
y1 + y2
= A1*sin(ωt-kx) + A2*sin(ωt+kx)
= A1*sin(ωt-kx) + A1*sin(ωt+kx) - A1*sin(ωt+kx) + A2*sin(ωt+kx)
= 2*A1*sin(ωt)cos(kx) + (A2 - A1)sin〈ωt+kx)

第一項は、WikiにあるようにX方向に進まない定常波、それにX方向に進む(A2 - A1)sin(ωt+kx)が重なることになります。つまり、合成波は移動します(上のMATLABの波形のとおり、ぎこちない動きにはなりますが)

注)便宜的に移動と呼んでいますが、実際には波は「移動」しません。各点の振動により移動しているように見えるだけなんで、そこつっこまないでね。

この回答への補足

なぜ私がこの質問を出したかと申しますと、気柱の固有振動を説明するために必要になるからです。これまでの高校レベルの説明には多くの省略がされていて、私には疑問だらけなので、もっと詳細・正確な説明を考えている中で、この問題が出てきました。

もしよろしかったら、下記の頁の回答No5の補足をご覧ください。
http://okwave.jp/qa/q8750829.html

補足日時:2014/09/13 23:21
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この回答へのお礼

完全な解答をいただき、ありがとうございます。

なるほど、y1+y2 の式はそのように変形して考えるのですね。
MATLABは私はここで初めて知りましたが、何て便利なアプリなのかと、感心させられました。 y1+y2 の式の性質が一目瞭然ですね。

> 「そこつっこまないでね。」

私はガキではありません。
教えていただいた方に対して、そんな失礼なことは致しません。

ただ、「(タイプするのが面倒なので位相は無視します)」の「位相」は、「初期位相」の方が分かりやすいと思います。老婆心ながら付け加えさせていただきます。

本当に助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2014/09/13 23:10

もう解決しているので蛇足です。



SWR(定在波比)という言葉があります。定在波と進行波の割合を表す
言葉で、無線ではおなじみの言葉です。

これを測るメーターが市販されています(^^;
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この回答へのお礼

コメントいただき、ありがとうございました。

定在波比は、私の今の関心からはちょっとはずれています。

#3の補足に書きましたように、私の質問は、閉管に息を吹き込んだ時に生じる定在波を掘り下げて理解するために、関連して解決すべき問題として生じたものです。

よろしかったら、#3の補足に書いたサイトの、回答No5の補足をご覧ください。

そこに書いた私のアイデアは違っているかな? 、との思いも今はありますが……。開口端で音波が反射する時、その反射率(入射波に対する反射波の振幅の割合を仮にそう呼びます)は、その音波が開口端で作る定在波の位相(←振幅と言った方が良いかも。うまい言葉が思いつきません。)に依存する、というのが、私のアイデアでしたが、違うかもしれません。

お礼日時:2014/09/14 17:37

おそらく、このサイトの後半に出てくる模式図(動画)の、緑の振幅だけが赤の半分しかなくなったら、という状況でしょうが、



定常波 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E5%B8%B8% …

節については、±5cmの幅で上下動し、

腹については、±15cmの幅で上下動し、

1波長の間で、その振動のパターンが±・±の組み合わせで4パターンを繰り返すように見える、という波が存在するように見えるかと思います。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

あなたに紹介していただいたサイトの文章に次の記述がありました。

「定常波の原因となる互いに異なる方向に進行する2つの波は、同一の波源から発生していることが多い。なぜなら、同じ振幅で同じ振動数の波源が自然に存在することは稀であるし、あるとしてもその波源から発生する波動が1次元波や平面波でないかぎり、2つの波源からの距離が異なる位置では減衰によって振幅が異なってしまい、定常波が発生しないからである。」

この記述によると、振幅が異なる場合には定常波は生じない、というように読めるのですが、どうでしょう??

お礼日時:2014/09/12 18:10

波長が同じなら定常波は出来ます。



行った波が反射して帰ってくる場合には反射波は振幅は減少しています。
その場合に行った波と帰った波で定常波が発生します。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
どんな定常波になるのでしょうか。
2つの波A,Bの振幅が同じ場合には、定常波の節も腹も不動点ですが、上の質問文の2つの波の場合は定常波らしきものができるとしても、節も腹も不動点ではなく移動するように思います。どうでしょうか。

お礼日時:2014/09/12 17:33

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ある課題で

水面上の2点A,Bから波長4センチ、振幅1センチの波がそろってでている。P.Q点で2つの波が重なり合ってできる合成波の振幅は何センチになるか 
(1).水面上でAから7センチ、Bから15センチのP点。
(2).水面上でAから7センチ、Bから17センチのQ点。
この解答として
(1)は15センチ引く7センチが8センチ。これが波長の整数倍なので波の腹になり振幅が(最大の)4センチ。
(2)は同じく差が10センチでこれは節になり振幅は0センチ。
正解でしょうか?
1が8センチ
2が4センチ
のような気もするのですが どうでしょう?

Aベストアンサー

(1)は2cm
(2)は0cm
作図をしてもよし、合資波を計算してもいいですが、
その結果干渉条件が求まります。
波源からの距離の差を求め、半波長の長さで割り算します。
その結果偶数であれば強め合って、2倍の振幅すなわち2cm
結果が奇数であれば、打ち消しあって振幅0です。
計算してみてください。
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Q同じ周波数の波の重ね合わせ後の周波数は??

同じ周波数で位相の異なる波が重なったとき、周波数は変化することはありますか?

ご存知の方がいましたら教えていただけないでしょうか?
できれば理由も教えてほしいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>同じ周波数で位相の異なる波が重なったとき、周波数は変化することはありますか?

「線形加算」でしょうから、
  a*cos(ωt) + b*cos(ωt + φ)
  = a*cos(ωt) + b*{cos(ωt)cos(φ) - sin(ωt)sin(φ)}
  = A*cos(ωt) - B*sin(ωt)
などと変形。
 : A = {a+b*cos(φ)}, B = b*sin(φ)。

あとは、おなじみの「余弦波合成」。
  A*cos(ωt) - B*sin(ωt) = √(A^2+B^2)*cos(ωt + θ)
  : θ= arctan(B/A)

…と振幅・位相が変化。周波数は変化せず。
    

Q定在波の条件式の解き方

y1= Asin(wt-kx)
として
x=L の位置に垂直な壁を置き、x軸の負向きに進行する反射波y2を生じさせた。
するとx>Lには波が存在しなくなった。
x=Lでは入社した波y1と反射波y2が打ち消し合って(y1+y2)が常に0であるとして。反射波を求めよ


という問題で

二倍角の公式を使って合成波を

y(x,t) = y1+y2

= 2A cos(-kx -(φ/2))sin(wt+(φ/2))
という式の結果を計算できました。
そこから

y(L,t) = 2Acos(-kL-(φ/2))sin(wt+(φ/2))
として時間によらず振幅がゼロになるので

-kL-(φ/2) = π/2

として結果 φが-2kL-π
y2=Asin(wt+kx-2kL-π)

までちゃんと導出できたのですが。

その次の問題で
更に上記の場合、x=0 でも常にy1+y2=0となるためのLの満たすべき条件を求めよという問題がわかりませんでした。

解説では

y(x,t) = 2Acos(-kx+kL+π/2)sin(wt+φ/2)
と条件からなる

と書いてありそこから0を代入すると

L=nπ/k

と書いてあったのですがここで質問です。

なんで条件から

y(x,t) = 2Acos(-kx+kL+π/2)sin(wt+φ/2)
がぱっとでてくるのか

そして最後の導出はそこから

kL+π/2 = nπ+π/2

で答えを求めているのですが
問1では

条件式にn を用いなかったのに
なぜ問2ではnという定数が用いられているのでしょうか。

このような応用問題まで理解が及ばず悔しいです。ご迷惑おかけしますがご教授お願い申し上げます。

y1= Asin(wt-kx)
として
x=L の位置に垂直な壁を置き、x軸の負向きに進行する反射波y2を生じさせた。
するとx>Lには波が存在しなくなった。
x=Lでは入社した波y1と反射波y2が打ち消し合って(y1+y2)が常に0であるとして。反射波を求めよ


という問題で

二倍角の公式を使って合成波を

y(x,t) = y1+y2

= 2A cos(-kx -(φ/2))sin(wt+(φ/2))
という式の結果を計算できました。
そこから

y(L,t) = 2Acos(-kL-(φ/2))sin(wt+(φ/2))
として時間によらず振幅がゼロになるので

-kL-(φ/2) = π/2

として結果 φが-2kL-π...続きを読む

Aベストアンサー

>なんで条件から
>y(x,t) = 2Acos(-kx+kL+π/2)sin(wt+φ/2)
>がぱっとでてくるの

 y(x,t)= 2Acos(-kx-(φ/2))sin(wt+(φ/2))
これに
 φ=-2kL-π
を代入しただけです。
 y(x,t)= 2A cos(-kx -(-kL-π/2))sin(wt+(φ/2))
 = 2A cos(-kx +kL+π/2))sin(wt+(φ/2))
 
>そして最後の導出はそこから
>kL+π/2 = nπ+π/2

関数
 y(x,t)=2A cos(-kx+kL+π/2))sin(wt+(φ/2))
が、x=0 で、tの値にかかわらず 常に0 つまり
 y(0,t)=
 = 2A cos(kL+π/2))sin(wt+(φ/2))=0
が変数tに関する恒等式になっているということです。
この条件は
 cos(kL+π/2)=0
であれば良いことを意味しています。
cos関数が0になるためには、その位相
 kL+π/2

 π/2+n・π nは適当な整数
であれば良いわけです。 
∴ kL+π/2=π/2+n・π 
 
ところで、
 y(x,t)=2A cos(-kx +kL+π/2))sin(wt+(φ/2))
では、初期位相部分に、整数を含むような表現が無いことに不安をお持ちのようですが
三角関数に特有な性質から、位相部分には、2nπ だけの任意性がありますから
 y(x,t)=2A cos(-kx +kL+π/2+2nπ))sin(wt+(φ/2+2mπ))
などと書いても一向に構わないのです。しかし、2つの式を見較べてみればわかるように
下の式は余計なことを書いているだけで、2nπや2mπの部分はわざわざ書く意味が無いのです。数式は、冗長でなくスッキリしたものである方が良いでしょう。
一方、
 kL+π/2=π/2+n・π 
の方は、長さLに関する情報を含む式で、ご覧のとおり、nが幾つかであるかによって、Lの値は違ってきます。当然のように、nを無視することなんてできません!

>なんで条件から
>y(x,t) = 2Acos(-kx+kL+π/2)sin(wt+φ/2)
>がぱっとでてくるの

 y(x,t)= 2Acos(-kx-(φ/2))sin(wt+(φ/2))
これに
 φ=-2kL-π
を代入しただけです。
 y(x,t)= 2A cos(-kx -(-kL-π/2))sin(wt+(φ/2))
 = 2A cos(-kx +kL+π/2))sin(wt+(φ/2))
 
>そして最後の導出はそこから
>kL+π/2 = nπ+π/2

関数
 y(x,t)=2A cos(-kx+kL+π/2))sin(wt+(φ/2))
が、x=0 で、tの値にかかわらず 常に0 つまり
 y(0,t)=
 = 2A cos(kL+π/2))sin(wt+(φ/2))=0
が変数tに関する恒等式になっていると...続きを読む

Q物理の定常波について。。。

物理の課題をやっていたのですが、その課題のところが予習する範囲なので解こうと思ってもよくわかりません。その問題と言うのは
[6cm離れた二点A,Bから、それぞれB,Aへ向かう波長2cm、振幅1cm、速さ1cm/sの等しい進行波が同位相で出されている。このときA,B間の定常波の腹の振動の周期と振幅を求めよ。また、定常波の節はどのように並んでいるか。]
という問題です。どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

定常波というのですか。電波などでは定在波といいます。同じものでしょう。
進行波と言うのは文字通り、進んでいく波です。
逆方向に進む2つの波がぶつかると、どちらにも進まず、ただ上下を繰り返すだけと言う波が出来ます。
これが定常波(定在波)です。
このとき、全く上下に動かないところと激しく動くところが出来ます。
動かないところが節で、最大に動くところが腹です。弦楽器や大縄跳びの縄を想像
してください。

波長2cmなので半分の1cmで考えましょう。(山1cmと谷1cm:速度1cm)
真ん中の地点はA,Bから等距離なので3秒遅れの足し算です。つまり、ここは腹になり、振幅(最大のゆれ幅)は(1+1=)2cmになります。
振動の周期は当然2秒ですね。(2cmの波長/秒速1cm)

次にA点から1cm(B点から1cmも同じ)の点です。
この点ではAとBの4cm差の波がぶつかります。(4秒差です)
これは2波長ですから同じタイミングとなり、ここも腹になります。
同様に考えて、1cmの倍数のところは全部腹になります。

腹と腹の中間が節になりますので、0.5、1.5、2.5、・・・5.5の
6箇所が節になります。

余り、厳密ではありませんが、参考にしてください。

定常波というのですか。電波などでは定在波といいます。同じものでしょう。
進行波と言うのは文字通り、進んでいく波です。
逆方向に進む2つの波がぶつかると、どちらにも進まず、ただ上下を繰り返すだけと言う波が出来ます。
これが定常波(定在波)です。
このとき、全く上下に動かないところと激しく動くところが出来ます。
動かないところが節で、最大に動くところが腹です。弦楽器や大縄跳びの縄を想像
してください。

波長2cmなので半分の1cmで考えましょう。(山1cmと谷1cm:速度1...続きを読む

Q定常波と定在波の違いについて

定常波と定在波の違いは何でしょうか?また超伝導と超電導の違いは?

Aベストアンサー

 どちらもそれぞれ同じ意味で、混用されることが多いと思います。↓
http://www.ince-j.or.jp/doc/term-ta.htm
http://www.istec.or.jp/SRL_homepage/super-J.html

参考URL:http://www.ince-j.or.jp/doc/term-ta.htm, http://www.istec.or.jp/SRL_homepage/super-J.html

Q定常波

11cm離れた2つの波源A、Bから波長4cmの波が同位相で送り出されている
AB間にできる腹の数はいくつか

解き方を教えてください

Aベストアンサー

この手の問題は定型的な解き方があります。

(1)A,Bの中点(Mとします)に着目します。
 A,Bが同位相なら、中点Mでは、常に両方の波源からやって来る山と山(谷と谷)が必ず出合います。 つまり、定常波の 腹 となるわけです。
 MはA,Bから等距離にありますから、同じ位相の振動が同時に来るのは明らかです。

(両波源が逆位相なら、逆位相の振動が同時にやって来ますから、Mは 節 となります)

(2) A-B上で、Mから λ/2の整数倍※ 離れた地点は腹となり、隣り合った腹と腹との中央には節が来ることを利用して、すべての腹・節の位置を確定できます。

(両波源が逆位相なら、A-B上で、Mから λ/2の整数倍 離れた地点は 節 となり、隣り合った節と節との中央には腹があります)

※ 定常波の、隣り合った腹と腹との距離(または 隣り合った節と節との距離)は
 半波長の距離になっています。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qレーザのスポット径の計算式

自分が使用しているレーザの加工サイズ(スポット)径を計算式から算出したいと考えています.以前同様の質問に対し,mickjey2さんが丁寧に回答してくださったにも関わらず,自分の知識の無さから未だに解決していない次第です.式としては、
(1)スポット径w=4λd/πw0
         λ:波長
          d:対物レンズの焦点距離
         w0:レンズに入射するビーム径
(2)スポット径w=w0*{1+(λd/πw0^2)^2}^1/2
の2つがあることは分かったのですが,どちらを使用して良いのか分からないのです.実際に波長1064nm,焦点距離30.5mm,入射ビーム径1.5mmで計算したのですが,スポット径にかなりの違いが見られました.
それぞれの式はどのような条件の際に用いるものなのかどなたか教えてください.宜しくお願いします.
(どちらかがガウスビームの式なのでしょうか?)
最後にもう一つ,私の使用するレーザユニットはM^2~1.5と表記されています.ガウスビームとみなす事が出来るでしょうか?
         

自分が使用しているレーザの加工サイズ(スポット)径を計算式から算出したいと考えています.以前同様の質問に対し,mickjey2さんが丁寧に回答してくださったにも関わらず,自分の知識の無さから未だに解決していない次第です.式としては、
(1)スポット径w=4λd/πw0
         λ:波長
          d:対物レンズの焦点距離
         w0:レンズに入射するビーム径
(2)スポット径w=w0*{1+(λd/πw0^2)^2}^1/2
の2つがあることは分かったのですが,どちらを使用して良い...続きを読む

Aベストアンサー

ではすぐに計算できる形でご提供しましょう。
使用する式は加工用途のYAGレーザですからガウシャンビームの式の発展版を使います。(詳しくは大御所お二方の書かれた "Output Beam Propagation and Beam Quality from a Multimode Stable-Cavity Laser", Anthony E.Siegman, Fellow IEEE, and Steven W.Townsend, IEEE Jurnal of uantum Electronics, Vol.29, No.4, April 1993 でも参照下さい。)

平行な、半径r、BQFactorがM2、ビームを焦点距離fのレンズに入射したとき、ビームウエスト半径r0は、

r0 ^2 = { r^2 * f^2 / Zr^2 } / { 1 + (f/Zr)^2 }

ここで、 Zr = π * r^2 * n / {M2 * λ}

M2 : M^2 の値
λ : 波長
 n : 屈折率(空気中ならばほとんど1)

全部MKSA単位で計算すればOKです。
M2が1からはずれてくると段々と上式と実際のスポットには食い違いが生じてきますのでご注意下さい。(詳しくは論文を読んで下さい)

ではすぐに計算できる形でご提供しましょう。
使用する式は加工用途のYAGレーザですからガウシャンビームの式の発展版を使います。(詳しくは大御所お二方の書かれた "Output Beam Propagation and Beam Quality from a Multimode Stable-Cavity Laser", Anthony E.Siegman, Fellow IEEE, and Steven W.Townsend, IEEE Jurnal of uantum Electronics, Vol.29, No.4, April 1993 でも参照下さい。)

平行な、半径r、BQFactorがM2、ビームを焦点距離fのレンズに入射したとき、ビームウエスト半径r0は、

r0...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q固定端反射と自由端反射の起きる仕組み

固定端では波は位相が反転して反射し、自由端ではそのままの位相で反射するということは図なども見てわかりましたが、なぜそのようになるのか分りません。
どなたか素人にも分るようにご説明いただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

まあ、簡単に言うと

固定端…反射面で入射波と反射波の合成波が0になる(固定されているため反射面では見かけ上波は起こらない)

自由端…そのまま跳ね返る(ボールを壁に当てて跳ね返ってくるのと同じようなことです)


とりあえずわかりやすそうなサイトがあったので
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/2-1-0-0/2-1-2-4koteitannjiyuutann.html


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