中学入試算数です。

５枚のカード 0，1，2，3，4を使って３桁または４桁の整数をつくります。１番小さい整数は123となります。

小さい方から26番目の整数を求めなさい。（答　1024） 2014は小さい方から何番目の整数ですか。 （答　50番目） どなたか解説できる方はいらっしゃいますでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2014/11/18 17:43

問題文は

５枚のカード 0，1，2，3，4の中から、順に４枚のカードを引いて、３桁または４桁の整数をつくります。最初のカードが０だった場合は3桁の整数になります。１番小さい整数は123となります。

じゃないでしょうか？

とすると

0123　1番目
0124　2番目
0132　3番目
0134　4番目
0142　5番目
0143　6番目
0213　7番目
0214　8番目
0231　9番目
0234　10番目
0241　11番目
0243　12番目
0312　13番目
0314　14番目
0321　15番目
0324　16番目
0341　17番目
0342　18番目
0412　19番目
0413　20番目
0421　21番目
0423　22番目
0431　23番目
0432　24番目
1023　25番目
1024　26番目　←最初の問いの答え
1032　27番目
1034　28番目
1042　29番目
1043　30番目
1203　31番目
1204　32番目
1230　33番目
1234　34番目
1240　35番目
1243　36番目
1302　37番目
1304　38番目
1320　39番目
1324　40番目
1340　41番目
1342　42番目
1402　43番目
1403　44番目
1420　45番目
1423　46番目
1430　47番目
1432　48番目
2013　49番目
2014　50番目　←次の問いの答え

で、解答例と一致します。

考え方は

千の桁は、0～4の５種類

百の桁は、千の位で使った物を除く４種類

十の桁は、千、百の位で使った物を除く３種類

一の桁は、千、百、十の位で使った物を除く２種類

と考えます。

組み合わせは「５×４×３×２」個、つまり「120個」あります。

千の位が０の個数は「４×３×２」個あります。

つまり、3桁の最大の「432」は「４×３×２番目」つまり「24番目」です。

すると、4桁の最小の「1023」は「25番目」になります。

なので、4桁の数は「25番目から数える」ことにします。

言い換えれば、

千の位が0の個数は「４×３×２」個あって、1番目から始まる。

千の位が1の個数は「４×３×２」個あって、25番目から始まる。

千の位が2の個数は「４×３×２」個あって、49番目から始まる。

千の位が3の個数は「４×３×２」個あって、73番目から始まる。

千の位が4の個数は「４×３×２」個あって、97番目から始まる。

と言うことです。

＞小さい方から26番目の整数を求めなさい。

「26番目」は「25番目の1023の次」なので「1024」が答え。

＞2014は小さい方から何番目の整数ですか。

「千の位が2の個数は「４×３×２」個あって、49番目から始まる」ので「2014」は「49番目より後ろ」にあります。

千の位が2の最小は「2013」で、49番目です。

「2014」は「2013の次」です。

「49番目の次」は「50番目」ですので「50番目」が答え。

この回答へのお礼

ご丁寧な解説ありがとうございました。目からウロコが落ちる思いでございます。m(_ _)m

お礼日時：2014/11/18 18:09

No.5 回答者： kiyokato001 回答日時： 2014/11/18 20:45

問題文が間違っていませんか？

一番小さい数字は　１０２　ではないでしょうか？

No.3 回答者： KEIS050162 回答日時： 2014/11/18 17:36

０、１、２、３，４の５種類のカードから４枚を選んで並べた数字の組み合わせは、

千の位　：　０～４の５通り
百の位　：　５種類から千の位で選んだカードを除く４種類
十の位　：　同様に、３種類
一の位　：　同様に、２種類

なので、５種類のカードから４枚を選んで出来る数字は、５×４×３×２　通りあります。（これは後の問題を解くのには、必要のない計算なので、計算しなくてもよいです。全部で何通りかということがイメージできればよいです。）


この内、千の位が　０のカードの時が、３桁の数字になります。

３桁の数字は、千の位に既に０を選んだとして、上と同様に組み合わせを考えます。
百の位　：　１～４の４種類（０は既に使われている）
十の位　：　５種類から、０と百の位で選んだカードを除く３種類
一の位　：　同様に、２種類

なので、３桁の数字は　４ｘ３ｘ２　＝　２４通りです。

２５番目は、１から始まる４桁の数字を小さい順に並べると、

１０２３　　　２５番目
１０２４　　　２６番目　　　　　　となります。

０の次に小さいのは　１　なので、１から始まる４桁の数字の組み合わせを同様に計算すると、これも２４通りになり、０から始まる４桁と、１から始まる４桁の組み合わせを足すと、４８通りになります。

その次に小さいのは２なので、２から始まる４桁の数値を小さい順に並べると、

２０１３　　　４９番目
２０１４　　　５０番目　　　となります。

ご参考に。

この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になりました。m(u_u)m

お礼日時：2014/11/18 18:07

No.2 回答者： chie65535 回答日時： 2014/11/18 17:06

３桁の整数の場合、４桁の整数の場合で、場合分けします。

・３桁の場合

百の位は

１ｘｘ
２ｘｘ
３ｘｘ
４ｘｘ

の４つです。

十の位は「百の位で使わなかった４つ」です。

一の位は「百、十の位のどちらでも使わなかった残り３つ」です。

すると、３桁の数は「４×４×３＝48個」あると判ります。

百の位が１
102　1番目
103　2番目
104　3番目
120　4番目
123　5番目
124　6番目
130　7番目
132　8番目
134　9番目
140　10番目
142　11番目
143　12番目

百の位が2
201　13番目
203　14番目
204　15番目
210　16番目
213　17番目
214　18番目
230　19番目
231　20番目
234　21番目
240　22番目
241　23番目
243　24番目

百の位が3
301　25番目
302　26番目
304　27番目
以下略。

＞１番小さい整数は123となります。

問題文が間違っています。一番小さい整数は、1番目の「102」です。

＞小さい方から26番目の整数を求めなさい。（答　1024）

３桁の整数だけで48個あるのに、26番目の整数が1024になる訳がありません。

解答が間違っています。26番目は「302」です。

・４桁の場合

千の位は

１ｘｘ
２ｘｘ
３ｘｘ
４ｘｘ

の４つです。

百の位は「千の位で使わなかった４つ」です。

十の位は「千、百の位で使わなかった残り３つ」です。

一の位は「千、百、十の位のどこにも使わなかった残り２つ」です。

すると、４桁の数は「４×４×３×２＝96個」あると判ります。

３桁の数は４桁の数より小さいので、４桁の数は「49番目以降」になります。

1023　49番目
1024　50番目
1032　51番目
1034　52番目
1042　53番目
1043　54番目
1203　55番目
1204　56番目
1230　57番目
1234　58番目
1240　59番目
1243　60番目
以下略。

＞2014は小さい方から何番目の整数ですか。 （答　50番目）

３桁の整数だけで48個あるので、4桁の整数は、49番目以降になります。

50番目は「1024」であって「2014」ではありません。

問題文の中で、何か、とても重要な「条件」が抜けていると思います。

それか「問題と答えが１つズレている」か。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2014/11/18 17:01

＞１番小さい整数は123となります。

これがよくわからないです。
102ではないのでしょうか。