No.3
- 回答日時:
>-(tanθ)x≦y≦(tanθ)xからDはx軸を対称軸とした半径aの
扇形だから、Dの重心はx軸上にあるので、1/|D|・∫∫xdxdy
だけを計算すればよい。
微小面積をrdrdα、x=rcosαとすると
∫∫xdxdy=∫(α=-θ→θ)cosα{∫(r=0→a)r^2dr}dα
=2∫(α=0→θ)cosα{∫(r=0→a)r^2dr}dα
=(2/3)a^3∫(α=0→θ)cosαdα=(2/3)a^3[sinα](α=0→θ)
=(2/3)a^3sinθ
|D|=πa^2(2θ)/(2π)=a^2θだから
1/|D|・∫∫xdxdy=(2/3)a^3sinθ/a^2θ=(2/3)asinθ/θ
重心は((2/3)asinθ/θ,0)・・・答
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
重心Gの座標
G(∫∫xdxdy/∫∫dxdy,∫∫ydxdy/∫∫dxdy)=(xG,yG) (1)
ここに
∫∫dxdy=|D| (2)
質問者が大学生以上であることを前提にして回答します。
高校生以下では教え方がわかりません。
Dがxy座標では変数分離できなくて積分が実質不可能なのでヤコビアンJを用いて
極座標系:rφ座標の積分に変換します。
一般式は
∫∫(in D)P(x,y)dxdy=∫∫(in D')P(rcosφ,rsinφ)Jdrdφ
=∫∫(in D')P(rcosφ,rsinφ)[∂(x,y)/∂(r,φ)]drdφ
です。D'はDをr,φの変域として表したものです。
x=rcosφ, y=rsinφより
J=∂(x,y)/∂(r,φ)=(a11,a12,a21,a22)(2×2行列の行列式)
=a11*a22-a12*a21
a11=∂x/∂r=cosφ, a12=∂y/∂r=sinφ, a21=∂x/∂φ=-rsinφ, a22=∂y/∂φ=rcosφ
以上より
J=r
∫∫(in D)P(x,y)dxdy=∫∫(in D')P(rcosφ,rsinφ)rdrdφ (3)
D'はr:0~a, φ:-θ~θです。
|D|=は(3)においてP(x,y)=1として(2)より
|D|=∫∫dxdy=∫(0~a)∫(-θ~θ)rdrdφ=[r^2/2](0~a)[φ](-θ~θ)=a^2θ (4)
(1)において
∫∫xdxdy=∫(0~a)∫(-θ~θ)[rcosφ]rdrdφ=[r^3/3](0~a)[sinφ](-θ~θ)=(2/3)a^3sinθ (4)
⇒ xG=∫∫xdxdy/|D|=(2/3)asinθ/θ
∫∫ydxdy=∫(0~a)∫(-θ~θ)[rsinφ]rdrdφ=[r^3/3](0~a)[-cosφ](-θ~θ)=0 (5)
⇒ yG=∫∫ydxdy/|D|=0
以上より
重心((2/3)asinθ/θ,0)
No.1
- 回答日時:
問題の意図が見え見えなのと、(1/|D|・∫∫xdxdy,1/|D|・∫∫ydxdy)を使って計算するだけなので、答えは書きません。
まずDが、どのような扇形の配置になるか、図示しましょう。その上で恐らく、積分は極座標に変数変換して計算するのが便利でしょう。
つまり極座標にさっくり変換できるか?、変換の際にヤコビアンをちゃんと使えるか?が、この問題の意図でしょう。
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