常にｆ’’（ｘ）＞０とf’'(x)=0は何を表す？

Question

画像にて、「常にｆ’’（ｘ）＞０」はｆ’（ｘ）の「常にｆ（ｘ）に対するｆ’（ｘ）の傾きが上がる」という事を表し、 f’'(x)=0 は f'(x) のｆ（x）に対する傾きが 0 （x軸に平行な直線）であることを意味するんですか？

hiccup · Accepted Answer

質問者さんへ

No.2 さんの回答ですが、図を誤解されているようで、前半は無視した方がよいと思います。特に「f'(a)=0 だから x=a で最小値か最大値をとる」というのは誤りですので注意してください。

No.3 さんの回答で

> 二次導関数が 0 は何を意味するか?
> 下に凸から上に凸へ、またはその逆へ
> 切り替わる点であることを意味します。

とありますが、これも正しくありません。
たとえば関数 f(x)=x^4 では、x=0 で二次導関数は 0 ですが、グラフの膨らみ方は x=0 の前後で似ています。グラフは二次関数のグラフに似ていることを参考にしてください。

「ｆ（ｘ）に対するｆ’（ｘ）の傾き」が何のことかわかりませんでしたので、質問に答えられませんが、せっかくだから書いておきます。

y=f'(x) のグラフをかいたとすると、その各点での接線の傾きは f''(x) で与えられます。ですから、「常に f''(x)>0 」とは「y=f'(x) のグラフの接線の傾きはどこでも正」ということです。
接線の傾きがどこでも正となるグラフは、右に向かって増えていくでしょう。つまり、「f'(x) は増えていく関数」です。f'(x) とは、y=f(x) のグラフの接線の傾きでした。接線の傾きが増えていくということは、図的にいえば、右に行くにしたがって y=f(x) の接線は反時計回りに回転する、ということです。

したがって、f''(x) の正負はグラフの膨らみ方を表しているといえます。グラフは x-y平面を上下に分けますが（部分的な場合もある）、上の領域が下の領域に向かって膨らんでいるときが「下に凸」です。

膨らみのある部分の先に f''(x)=0 となる点があるなら、そこに向かって膨らみが消えていき、その点で完全に消えます。そこで接線の回転が止まるのです。その先の膨らみ方（接線の回転がどっち回りか）は、f''(x) の符号（接線の傾き f'(x) の変化がプラスかマイナスか）が教えてくれます。

toshih2000 · Answer

質問文の
f"(x)=0 は f'(x) の傾きが 0 になる点
というのはそのとおりです。

しかし、そのままだと求める必要性を感じないと思います。

二次導関数の値が正か負かによって
下に凸か上に凸かの判定ができます。
これは図のとおりです。

二次導関数が 0 は何を意味するか?
下に凸から上に凸へ、またはその逆へ
切り替わる点であることを意味します。
ですから、グラフを手書きする場合には
この点を意識して書きます。

例が二次関数では、二次導関数が 0 になる事はありませんが、
三次以上の関数や三角関数(sin,cos)などではあり得ますので
そういった関数で試してみると良いかもしれません。

High_Score · Answer

何だか悪いテキストに見えます。グラフの左側では最初f´<0つまりfは減少しますが、f´=0になりfは最小値をとりfは一瞬ですが水平になり、次にf´>0に代わりfは増加に転じます。この説明の中でf´´は出て来ません。考えてもいいですが、無くても減少→最少→増加の説明は出来ます。ではf´´どう考えるのかというと、f´´>0の時は「f´つまりfの傾きが増加」傾きが増えるのを想像してみて下さい。富士山の裾野のような弓なりカーブ、下に凸です。f´´<0の時はダルマの頭カーブ、上に凸です。 f´´=0の時は、考えてみて下さい。

notnot · Answer

ちょっと違います。

「常にｆ’’（ｘ）＞０」 は  「常にｘに対するｆ’（ｘ）の傾きが正（右上がり）」 したがって「f(x)は下に凸」

「f’'(x)=0」 は 「f'(x) のxに対する傾きが 0 」 したがって「f(x)は直線」

常にｆ’’（ｘ）＞０とf’'(x)=0は何を表す？

質問者さんへ

質問文の

何だか悪いテキストに見えます。

ちょっと違います。

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