複素関数

複素数(1 + i)^50 - (1 - i)^50
の偏角と絶対値の求め方について

与式=exp(50*log(1+i)) - exp(50*log(1-i))
= exp(50*log√2) *{ cos(25π/2 + nπ/25) + i sin(25π/2 + nπ/25) - cos(-25π/2 + nπ/25)
- i sin(-25π/2 + nπ/25)}

= exp(50*log√2) *{ cos(π/2 + nπ/25) + i sin(π/2 + nπ/25) - cos(-π/2 + nπ/25)
- i sin(-π/2 + nπ/25)}

加法定理を使って整理

与式= -2exp(50log√2) * (sin (nπ/25) - i * cos ( nπ/25 ) )

| z | = 2exp(50 log√2), 偏角 nπ/25 (n = 0, 1, 2, .....)
というやり方でよろしいでしょうか？
偏角は　nπ/25 なのでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/01/16 00:42

最初の

与式=exp(50*log(1+i)) - exp(50*log(1-i))
= exp(50*log√2) *{ cos(25π/2 + nπ/25) + i sin(25π/2 + nπ/25) - cos(-25π/2 + nπ/25)
- i sin(-25π/2 + nπ/25)}
から理解できん. nπ/25 はいったいどこから出てきたんだ? そして, 全部 n でいいのか?

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/16 01:18

＞| z | = 2exp(50 log√2), 偏角 nπ/25 (n = 0, 1, 2, .....)

というやり方でよろしいでしょうか？

結果からみると成功していませんね。ふつうはオイラーに持ち込むように演算します。。

(1 + i)=√2(1/√2+i/√2)=√2[cos(π/4)+isin(π/4)]=√2e^(iπ/4)

(1 + i)^50=[√2e^(iπ/4)]^50=2^25e^(i50π/4)=2^25e^(i25π/2)

=2^25e^(i(12π+π/2))=2^25e^(iπ/2)=2^25(cos(π/2)+isin(π/2))=i2^25

(1 - i)^50=[√2e^(-iπ/4)]^50=2^25e^(-i50π/4)=2^25e^(-i25π/2)

=2^25e^(i(-12π-π/2))=2^25e^(-iπ/2)=2^25(cos(-π/2)+isin(-π/2))=-i2^25

(1 + i)^50 - (1 - i)^50=i2^26

絶対値＝2＾26

偏角＝π/2

この回答へのお礼

ありがとうございます.
基礎的なことを忘れていました.

お礼日時：2015/01/18 12:29

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/16 01:58

#2です。

偏角は25π/2で偏角の主値がπ/2というのが正しいようです。

No.4 回答者： sesame131 回答日時： 2015/01/16 07:50

z=(1+i)^n - (1 - i)^n とすると、

={(1/√2)*exp(pi*i/4)}^n - {(1/√2)*exp(-pi*i/4)}^n
=(1/2)^(n/2)*{exp^(npi*i/4) - exp(-npi*i/4)}
=(1/2)^(n/2)*(2i)*sin(npi/4)
=(1/2)^(n/2-1)*i*sin(npi/4) .
よって、
|z|=(1/2)^(n/2-1), arg(z)=(n/4)pi.
です。
本問の場合、
|z|=(1/2)^24, arg(z)=pi/2.
となります。