物理の波の問題です

物理の波の問題です。

(問題)

　添付画像のように、糸の一端を音叉につけ、他端におもりをつけて、その糸を滑車にかける。おもりの重さを W にして音叉を振動させたとき、糸が共振して2個の腹をもつ定常波ができた。このとき PQ は 長さL であった。

(1) PQ は 長さLのままで、基本振動が起こるようにするにはおもりの重さはいくらにすればよいか？

(2) PQ は 長さLのままで、おもりの重さを (1/9)W にすると何倍振動になるのか？

(3) 同じ材質で直径が√2倍の糸に取り換える。PQが長さLで基本振動が起こるようにするにはおもりの重さはいくらにすればよいか？


(解答)

(1) 4W

(2) 6倍振動

(3) 8W


以上です。
　
　弦の振動数 f は　f = n / (2L) × ( T / ρ ) ^ (1/2) で求まるかと思います。

　(1)でおもりを重くすると張力T は大きくなるのに、なぜ4Wにすると2倍振動から基本振動になるのでしょうか？ (2)も同様で、なぜ　(1/9)W　と軽くして　6倍振動と振動数が大きくなるのでしょうか。どちらも逆のような気がします。私は(1)は (1/4)W　かと思いました。

　しかし、テキストの解答は上記のようになっていました。

　分かる方おられましたら、解き方を教えてください。

　よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/02/12 15:55

弦の振動長さ＝音波の波長とお考えでは？　実はそうではないのです。

音波の波長は、弦の腹の部分の往復の振動数で決まるのです。弦の固有振動数は、弦の「材質」「太さ」「張力」なども関係し、弦の長さだけでは決まりません。従って、見た目の「弦の長さ」と「音波の波長」は一致しません。一度その弦の固有振動数が決まれば、弦の長さと振動数とに反比例します。
　ギターで、６本の弦の音の高さはみな違うのに、弦の長さは６本とも同じということを考えてみればわかると思います。ギターの各弦の開放状態（指で押さえないとき）の音の高さは、張力（弦を巻き上げる力）を調節して調弦（チューニング）します。一度調弦すれば、あとは押さえる指の位置で音の高さが決まります。

　ご質問の問題の場合、弦は音叉の振動数で振動します。最初の状態は、この振動数が弦の長さの１／２に相当する弦の固有振動数に合致しているということです。
　つまり、お示しの式でいうと、この状態は　ｎ＝２　ということです。

　この状態から、弦の長さそのものの固有振動数が音叉の振動数に一致するようにするには、張力をどう調節すればよいのか、というのが問題です。つまり、お示しの式で　ｎ＝１　となるようにするには、「Ｔ」の値をどう変えればよいか、ということです。
　音叉の振動は同じですから、お示しの式の「ｆ」は変わりません。（これを「一定」であることを示す意味で「f0」と書きます）
　つまり、
・初期状態：f0 = 2 / (2L) × ( T0 / ρ ) ^ (1/2)
・最終状態：f0 = 1 / (2L) × ( T1 / ρ ) ^ (1/2)
となる「T1」を求める、ということです。

　ｎを　２→１　にしたときに、同じ「ｆ」の値になるためには、「Ｔ」は４倍にする必要がある、ということですね。


　質問者さんが誤解しているのは、張力を上げると弦の振動数が上がり、従って「弦の波長が大きくなる」ことと矛盾するのではないか、ということかと思います。上に書いたように、「見た目の弦の長さ」は「音速の波長」ではない、ということです。同じ長さの弦でも、弦の材質、太さ、張力で固有振動数が変わる、ということを理解しましょう。
　上に書いたように、弦から出る「音波」の振動数は、音叉の振動数と同じで一定です。この振動数に、弦の固有振動数（ｎ=１）を合致させるにはどうすればよいか、というのが問題です。弦の長さを変えてもよいなら、「弦の長さを１／２にする」というのも答になります。ご質問の問題の場合、弦の長さは一定との条件ですので、固有振動数を上げるために、張力を大きくするということになります。


　上のことが理解できれば、下記のようになることがお判りでしょう。

（２）最終状態が
　　f0 = n / (2L) × ( T0 / 9ρ ) ^ (1/2)
となる「n」を求める。

（３）「同じ材質で直径が√2倍の糸」ということは、単位長さあたりの質量は2倍になるので、最終状態が
　　f0 = 1 / (2L) × ( T3 / 2ρ ) ^ (1/2)
となる「T3」を求める。

この回答へのお礼

分かりやすい説明でようやく理解できました。

またよろしくです。

お礼日時：2015/02/13 06:53

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2015/02/12 07:11

音叉を使って弦を振動させているので、弦は常に音叉の固有振動数と等しい振動数で振動しています。

従っておもりの重さを変えたとしても弦の振動数に変化はないのですが、この点を誤解されてませんか。

お書きになっている振動数の式を使っても構わないのですが、おそらくおもりの重さを変える事で弦を伝わる波の波長がどう変化するかを考えた方が分かりやすいと思います。