三次関数、微分の問題です

a>0とする。f(x)=x^3-3ax^2(0≦x≦2)について、最小値と最大値を求めよ。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/02/13 09:49

f(x)=x^3-3ax^2 (0≦x≦2, a>0)

f(x)=x^2(x-3a)

f'(x)=3x(x-2a)

a>0なので

f(x)はx=0で極大となり、極大値f(0)=0

x=2aで極小となり、極小値f(2a)=-4a^3

x=3aでx軸と交差する。

従ってf(x)=0の解はx=0(重根),x=3aである。

適当なa>0を設定し、以上を増減表に整理し、グラフの外形を描くこと。

変域(0≦x≦2)における最大最少は極小値を与えるx=2aと変域の関係で決まる。

i) 2≦2a,すなわち 1≦aのとき、

最大はx=0で最大値=f(x)=0

最小はx=2で最小値＝f(2)=4(2-3a)

ii)2a<2≦3a,すなわち 2/3≦a<1のとき

最大はx=0で最大値=f(x)=0

最小はx=2aで最小値=f(2a)=-4a^3

iii)3a<2,すなわち 0<a<2/3のとき

最大はx=2で最大値=f(2)=4(2-3a)

最小はx=2aで最小値=f(2a)=-4a^3


余裕があれば最大値、最小値をaの関数としてグラフに表すとよい