No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「二次関数」とのことなので、きっと
関数 f(x) = -(x-2)² + 6 (0≦x≦a)
なのでしょうね。それで回答します。
ます、関数 f(x) = -(x-2)² + 6 のグラフは書けますか?
(2, 6)を頂点とする、上に凸の放物線です。
x<2 では単調増加、x=2 で最大、2<x で単調減少になります。
x の範囲が 0≦x≦a ですから、これと a の範囲とを混乱しないことが大切です。
(1)a=0 のときは、x=0 しかとり得ないので、f(0) = 2 です。最大値も最小値も「2」です。
↑ この場合分けがないのはどうしてなのでしょね?
(2)0<a≦2 ならば、x の範囲は 0~a≦2 なので、「 x=0 のとき最小値 2、x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということです。a=2はその特別な場合であり、この0<a≦2 の全ての a についてそうなるわけではありません。
この範囲なら、a=1 のときには x=1 で最大値 5 をとるし、a=2 なら x=2 で最大値 6 をとります。それをこの範囲の a について一般化して書けば「x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということなのです。
(3)2<a≦4 ならば、x の範囲は 0~2~a なので、x=2 を必ず含むので最大値は 6 で決まりです。x=4 のときには f(4) = 2 ですから、x=0 のときと同じです。
つまり、
2<a<4 ならば、「 x=0 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
a=4 ならば、「 x=0 および x=a=4 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
ということになります。
この場合には、a=4 以外のときには a は直接最小値には関係せず、a=4 のときだけが最小値に関係する特別な扱いとなります。
上の(1)と同じように、「a=4 のとき」を特別に分けた方が適切かと思います。
(4)4<a ならば、x=a のときに x=0 よりも小さな値をとりますから、「 x=a のとき最小値 m = -a²+4a+2、x=2 のときに最大値 6 をとる」ということになります。
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