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高校、数学Ⅰの二次関数についてです。

問) 関数 f(x)=-(x-2)+6 (0≦x≦a) の最大値M、最小値mを求めよ

この問題で、0<a≦2、2<a≦4、4<a、の3範囲に分けて考えるとき、一つ目の0<a≦2の範囲ではx=aで最大値M=-a²+4a+2
と答えには書いてあります。

xの範囲、aの範囲ともに=がついているのでx=2で最大値M=6と考えたのですがなぜ6にはならないのでしょうか。

A 回答 (2件)

「二次関数」とのことなので、きっと


  関数 f(x) = -(x-2)² + 6 (0≦x≦a)
なのでしょうね。それで回答します。

ます、関数 f(x) = -(x-2)² + 6 のグラフは書けますか?
(2, 6)を頂点とする、上に凸の放物線です。

x<2 では単調増加、x=2 で最大、2<x で単調減少になります。

x の範囲が 0≦x≦a ですから、これと a の範囲とを混乱しないことが大切です。

(1)a=0 のときは、x=0 しかとり得ないので、f(0) = 2 です。最大値も最小値も「2」です。
  ↑ この場合分けがないのはどうしてなのでしょね?

(2)0<a≦2 ならば、x の範囲は 0~a≦2 なので、「 x=0 のとき最小値 2、x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということです。a=2はその特別な場合であり、この0<a≦2 の全ての a についてそうなるわけではありません。
この範囲なら、a=1 のときには x=1 で最大値 5 をとるし、a=2 なら x=2 で最大値 6 をとります。それをこの範囲の a について一般化して書けば「x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということなのです。

(3)2<a≦4 ならば、x の範囲は 0~2~a なので、x=2 を必ず含むので最大値は 6 で決まりです。x=4 のときには f(4) = 2 ですから、x=0 のときと同じです。
つまり、
 2<a<4 ならば、「 x=0 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
 a=4 ならば、「 x=0 および x=a=4 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
ということになります。
 この場合には、a=4 以外のときには a は直接最小値には関係せず、a=4 のときだけが最小値に関係する特別な扱いとなります。
 上の(1)と同じように、「a=4 のとき」を特別に分けた方が適切かと思います。

(4)4<a ならば、x=a のときに x=0 よりも小さな値をとりますから、「 x=a のとき最小値 m = -a²+4a+2、x=2 のときに最大値 6 をとる」ということになります。
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この回答へのお礼

ていねいにありがとうございます!
ベストアンサーつけさせていただきます。

お礼日時:2016/05/01 18:54

0<a≦2の範囲。


aは1かも知れないし、1.5かも知れない。
例えばa=1とすると最大値はグラフを書くとわかるけど、M=5
つまりこの場合は最大値は6では無くて5。

最大値M=-a²+4a+2だとa=1を代入すると、M=5
1.5なら代入するだけで5.75が得られる。

aも0<a≦2の範囲で値が動く変数みたいなもの。
だからMもaの関数としてる訳。
そこにaに0<a≦2の範囲で具体的な値を代入すれば、必ずその範囲での最大値となる訳だね~。
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この回答へのお礼

ていねいにありがとうございます!

お礼日時:2016/05/01 18:55

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