極方程式への変換

よろしくお願いいたします。

問題自体は基本的内容だと思うのですが、初学者ゆえ、お願いいたします。


（問題）x + 2y - 3 = 0 を極方程式で表せ。

解答は、加法定理を展開した形から逆算する方法でαを決定し、

√5r cos(θ - α) = 3　　ただしαは　cosα=1/√5 sinα=2/√5


としているのですが、数学Ⅱの知識を用いて普通に正弦合成して


√5r sin(θ + α) = 3　　ただしαは　cosα=2/√5 sinα=1/√5

としてもよいのでしょうか。

別解やこのようでもよいといった但し書きがなかったので少し疑問に思いました。

No.2 ベストアンサー 回答者： think2nd 回答日時： 2015/05/20 12:42

先に結論

　ご安心ください　あなたの出した答えで結構です。あなたは
　"√5r cos(θ - α) = 3　　ただしαは　cosα=1/√5 sinα=2/√5"と
　"√5r sin(θ + α) = 3　　ただしαは　cosα=2/√5 sinα=1/√5"が゛同値であることを確証すればいいだけのことです。

　たとえて話します。
　地球に住むAさんとBさんがいます。二人が地点Oで出会います。Bさんが、ある場所Pに行きたいとAさんに道を尋ねます。
　2つの方法があります。
　1　Aさんが緯度と経度をBさんに伝えれば十分です。ちょっと失礼ですよね。今二人がいる場所OでAさんはBさんにたとえば「ここから東にxキロそこから北に向かってyキロ歩けばPにつくよ」というか。
　2　点Pを指さして「こちらの方向にrキロ歩ばPにたどり着くよ」というかです。

1について緯度経度を言うのは絶対座標を使っているから、どこにいようがPを教えられますよね。
　むしろベクトル概念を使ってOを原点にした、直交座標でPの位置を示した方が親切です。
　だから場所Pを座標と考えてP(x,y)と表します。
2では指で指さなければならないからこちの方向を東から反時計回りにθの角を作って、OからPの位置をP(r,θ)とか表すことができます。
　1の座標表示と2極座標表示には
　x=rcos(θ)
　y=rsin(θ)
　の関係があります。大切なことはこの決めたかすなわちルールをあなたが納得しているかだけです。
よく理解してください。
　ということは1で提起された
x + 2y - 3 = 0 を満たす点Pの座標は、直交座標表示ですから、2の極方程式にコンバートするには
x=rcos(θ)とy=rsin(θ)を代入した
　rcos(θ)+2rsin(θ)-3=0・・・☆
すなわちr{2sin(θ)+cos(θ)}=3が答えです。
　それをサ-ビス精神で合成とか、加法定理を使ってαを持ち出して答えているのではないでしょうか
。だから同値性は☆戻るかをご自身で納得してください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
表示形式の違いだけで、回答としては問題なかったのですね、安心しました。
ただのテクニックとしてではなく、きちんと内容を理解して変換を行わなければならないですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/05/22 11:58

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/05/20 05:56

結論を言うと、あなたの解法の方がbetterでしょう。

それはαの意味を考えてみると分かります。

直線　L:x + 2y - 3 = 0　のグラフを書いてcosα=2/√5 sinα=1/√5を満たすαが何であるかをグラフ上で考えてみると、αはLとｘ軸がなす角であることがわかります。一方、回答の与えるcosα=1/√5 sinα=2/√5を満たすαはLとｙ軸がなす角です。角度はx軸となす角を取る方が一般的です。

解答は「加法定理を展開した形から逆算する方法で」、あなたは「数学Ⅱの知識を用いて普通に正弦合成して」と書かれていますが、もちろんこれらは同じもの、加法定理の変形したものの一つが三角関数の合成です。

x + 2y - 3 = 0 にx=rcosθ,y=rsinθを代入して

rcosθ+2sinθ-3=0

√(1^2+2^2)=√5で割って

r[(1/√5)cosθ+(2/√5)sinθ]=3/√5

あなたの計算はcosα=2/√5 sinα=1/√5とおいて

r[sinαcosθ+cosαsinθ]=3/√5

としているのであって、sinの加法定理　sin(θ + α)=sinαcosθ+cosαsinθを用いて

rsin(θ + α)=3/√5

としているのと同じです。


数学Ⅱに三角関数の加法定理が入っているのかそうでないのかは知りませんが、三角関数の加法定理は極めて応用性の高い重要な定理であって、それを習っていませんので使えませんというのは高校生の数学としては不十分です。入試において頻繁に出題されますので、今でなくとも、いずれマスターするようにしてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

やはり後記の回答でも問題ないのですね、安心いたしました。

加法定理そのものは学校で証明から学習しましたので、理解しています。
今回の問題では、なぜ正弦合成ではなく余弦合成を用いているのかな、と疑問に思ったのです。

丁寧な回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/05/20 16:47