大学受験 数列の問題です

以下の問題に対する解き方と解答をご教示下さい．お願いいたします．

◇自然数ｎに対して数列｛Ａｎ｝を，Ａｎ＝1／２ⁿ（ｎ²－23ｎ－48）により定める．
　数列｛Ａｎ｝の最大値を与えるｎを求めよ．

質問者からの補足コメント

• 

  すみません，質問内容に誤りがあります．
  回答者guunagoona2015 さんにご指摘いただき気がつきました．
  
  Ａｎ＝1／２ⁿ（ｎ²－23ｎ－48）は，Ａｎ＝（ｎ²－23ｎ－48）／２ⁿ　に訂正させていただきます．
  ※問いに対する答えは27になります．
  
  今一度，解説お願いいたします．
  申し訳ありません．

    補足日時：2015/09/22 23:13

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/22 22:48

Ａｎ＝1／２ⁿ（ｎ²－23ｎ－48）　が　Ａｎ＝（ｎ²－23ｎ－48）／２ⁿ　ではないことを願って。

ｆ(n)=２ⁿ（ｎ²－23ｎ－48）、ｇ(n)＝ｎ²－23ｎ－48　とおくと、
２ⁿ>0　だから、
ｇ(n)<0　のとき　ｆ(n)<0　つまり　Ａn<0　となり、Ａn　が最大値をとることはないので、
ｇ(n)>0　となる　n　の範囲で考えればよいと思います。

ｇ(n)>0　のとき
ｎ²－23ｎ－48>0　・・・・・ ①
ｎ²－23ｎ－48=0　を解くと、
n={－(－23)±√(－23)²－4･1･(－48)}/(2･1)=(23±√721)/2
したがって、 ① の解は、
n<(23－√721)/2、　(23+√721)/2<n

n≧1　より
n>(23+√721)/2　・・・・・ ②

ここで、
26²=676、　27²=729
だから、
26<√721<27
各辺に　23　を加えて、
49<23+√721<50
各辺を　２　で割って、
49/2<23+√721<25
したがって、 ② を満たす自然数 n は、
n≧25
である。

したがって、　n≧25　の範囲で、
ｆ(n)　が最小となるとき、　Ａn　が最大になるので、
ｆ(n)　が最小となる n を求めればよい。

n≧25　のとき、　ｙ＝２ⁿ　は増加関数だから、　２²⁵≦２ⁿ　となり、
２ⁿ　は　n＝25　のとき最小となる。
また、
ｙ＝ｇ(n)　は、軸が　直線 n＝23/2　で下に凸の放物線だから、
n≧25　の範囲で、
ｇ(n)　は　n＝25　のとき最小となる。

これより、
ｆ(n)=２ⁿ（ｎ²－23ｎ－48）　は　n＝25　のとき最小となる。

よって、
Ａｎ＝1／２ⁿ（ｎ²－23ｎ－48）　は　n＝25　のとき最大になる。

（答）　n＝25

となりましたが・・・。

この回答へのお礼

解答ありがとうございました．
そして，申し訳ありませんでした．ご指摘いただいた通り，質問させて頂いた問いを間違えて打ち込んでしまいました．
本当にありがとうございました．

お礼日時：2015/09/23 01:20

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/22 23:54

A(n)/A(n-1) を考えよ.

この回答へのお礼

解答ありがとうございました．
私は，引き算で行きました！

お礼日時：2015/09/23 01:18

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/23 01:00

An = (n^2 - 23n - 48) / 2^n

　= [ (n - 12) * (n - 11) - 180 ] / 2^n
よって
A(n-1) = [ (n - 13) * (n - 12) - 180 ] / 2^(n-1)

An と A(n-1) の差をとると何かが見えてきそう。

An - A(n-1)
= [ (n - 12) * (n - 11) - 180 ] / 2^n - [ (n - 13) * (n - 12) - 180 ] / 2^(n-1)
= { (n - 12) * (n - 11) - 180 - 2 * [ (n - 13) * (n - 12) - 180 ] } / 2^n
= ( n^2 - 23n - 48 - 2n^2 + 50n + 48 ) / 2^n
= ( -n^2 + 27n ) / 2^n
= n ( 27 - n ) / 2^n

これを i=2 ～ n で加算すれば、途中の項が相殺して
An - A1 = Σ(i=2, n)[ i ( 27 - i ) / 2^i ]
∴　An = Σ(i=2, n)[ i ( 27 - i ) / 2^i ] + A1

これは、n=2~27 では単調増加し、i≧28では単調減少する。
従って、An が最大値となるのは n=27 である。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます．
私は，Ａ（ｎ）－Ａ（ｎ+１）で解いたんですが，違うアプローチ方法を学ぶことができました_(._.)_

お礼日時：2015/09/23 01:17