∫_0^∞ (ln(x))^2*e^(-x) dx の値

http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniCon …
によると、
　∫_0^∞(ln(x))^2*e^(-x)dx = γ^2 + π^2/6
となるようですが、成り立つことを確認しようとしていろいろ試したのですが、
手詰まりになってしまいました。

お分かりの方がいらっしゃいましたら、ヒント等をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sichtbare 回答日時： 2015/10/02 19:05

ご質問の積分はEuler-Mascheroni integralというみたいですね。

http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniInt …
従ってガンマ関数の二階微分の引数が１の値をもとめればいいことになります。

これを求めるのにディガンマ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3 …
を使います。ガンマ関数の無限積表示を使うとディガンマ関数ψ(z)の一回微分がもとまり、
それのｚ＝１での値が求まります。無限積表示は上のwikipediaのディガンマ関数の記事を参照してください。
一回微分を'、二階微分を''で表すことにするとψ'(z=1)=ζ(2)=π^2/6となります。
一方、定義よりψ'(z)=(Γ''(z)・Γ(z)-Γ'(z)^2)/Γ(z)^2ですから
Γ(1)=1,Γ'(1)=-γをつかうとΓ''(1)が求まります。以上です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すっきりしました。

http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniInt …
の I_4 は 3π^4/20 の符号が間違っていて、
πの代わりにζ(n)を使ったほうが美しい感じで
　I_2/2! = γ^2/2! + ζ(2)/2
　I_3/3! = γ^3/3! + ζ(2)/2*γ/1! + ζ(3)/3
　I_4/4! = γ^4/4! + ζ(2)/2*γ^2/2! + ζ(3)/3*γ/1! + ζ(4)/4 + (1/2!)*(ζ(2)/2)^2
などとなり、
一般に
　{(ζ(2)/2)^m_1*(ζ(3)/3)^m_2*(ζ(4)/4)^m_3*…}/{(m_1)!(m_2)!(m_3)!…}*γ^n/n!
の項が出てくるようです。

お礼日時：2015/10/03 01:00

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2015/10/02 22:48

既に解答が付いているようなので蛇足にはなるが・・!

当方は既知のラプラス変換公式を使って形式的に解いてみた・・!

f(t)のラプラス変換をL{f(t)}で表すとすると
L{(d^2(t^x)/dx^2} = ∫(0,∞){t^x・(logt)^2・e^(⁻st)}dt・・・①

一方ラプラス変換公式から
L{(d^2(t^x)/dx^2} = Γ”(x+1)・s^-(x+1)－2Γ’(x+1)・s^-(x+1)・logs－Γ(x+1)・s^-(x+1)・(logs)^2・・・②
(後はANo1と同じ手続きを使って!)
ポリΓ関数の微分公式により(Γ関数の微分をΓ’、Γ”で表すことにする)
Γ”(x+1)・Γ(x+1)－(Γ’(x+1))^2 =Ψ’(x+1)・(Γ(x+1))2
ここでx→0とすれば
Γ”(1) = Ψ’(1)＋(Γ’(1))^2 =ζ(2)＋ɤ^2 = π^2/6＋ɤ^2
x→0およびs = 1で考えると①=∫(0,∞){(logt)^2・e^(⁻t)}dt
②はL{(d^2(t^x)/dx^2} = Γ”(1)
∴∫(0,∞){(logt)^2・e^(⁻t)}dt = π^2/6＋ɤ^2

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ラプラス変換は大学の時に少しだけやって放置していたので、
これを機会に勉強しなおしてみようと思います。

お礼日時：2015/10/03 01:05