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こんにちは、どうぞ宜しくお願いします。

速度、加速度、瞬間中心のことで悩んでおります。

添付の画像をご覧ください。今、ある瞬間の剛体中のAとB点の速度の向きが分かっているとします。この場合、両点を通り、これらの速度に垂直な線を描くと、その交点が瞬間中心Cになります。
そして、この瞬間、剛体はCを中心として回転しているとみなせます。
もし、例えば、Aの速度について向きだけでなく大きさもわかれば、その剛体の角速度ωを求めることができます。このωを使えば、剛体中の任意の点の速度を、瞬間中心Cからその任意点の距離を使って求めることができます。

ここまではいいのですが、「瞬間中心を使って速度は求められるが加速度は求められない」と習いました。確かに、角加速度αは不明なので、回転の接線方向の加速度は不明ですが、半径方向(任意点から瞬間中心の方法)の加速度はもとめられないのでしょうか。任意点からCまでの距離をRとすれば、ωR^2で半径方向の加速度になるかと思うのですが、これは正しくないのでしょうか。

「瞬間中心は固定点ではないので加速度は求められない」という説明を聞いたことがありますが、ピンときません。「剛体はCを中心として回転している」ということからすると、半径方向の加速度はωR^2でいいと思ってしまいます。

感覚的でない(数学的?)説明をしていただけないでしょうか。
語彙や間違っていたり、説明が不十分なところがあるかも知れませんが、その際は言って頂ければ訂正いたしますので、どうかよろしくお願いします。とても悩んでおりますが、どうしても説明ができずあがいております。

「瞬間中心を使って速度は求められるけど加速」の質問画像

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A 回答 (8件)

>「瞬間中心」は (vt, v/ω)になります。



ああ、やっぱりぼけてますね。
「瞬間中心」は (x, v/ω) (x は円盤の中心のx座標)

で、私は何を言いたかったかというと、瞬間中心は速度のみで決まり、
系全体の並進運動の加速度とは無関係である例を示したかっただけなんです。
つまり瞬間中心と角速度だけでは加速度は「全く」決まりません。
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No.6さんに近いのですが、簡単に言えば、どのような加減速をしていようとも、その瞬間に同じ速度のものを用意することができる、ということです。

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回転中心が分かったとしても、その後どういう速度変化をするのか分からないので他の方が言うように無理です



例えば、ある瞬間で時速30kmで走行している車があったとします
この情報からだけでは、信号で止まろうと減速してる(加速度マイナス)のか、制限速度30kmで走っている(加速度0)のか、止まってところから加速している最中(加速度正)なのかどれか分かりません
ですので、加速度(速度の時間変化)はある一瞬のデータからは基本求まりません(束縛条件があればこの限りではないです)
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もうちょっと具体的に。



2次元で考えます。
剛体の円盤が円盤の中心を垂直に貫く線を軸に角速度ωで反時計回りに回転し、
円盤は XY平面上を X 方向へ、円の中心が x軸に沿って速度v 動いているとします。

t=0 の時 円の中心位置が (0, 0) だとすると
すると「瞬間中心」は (vt, v/ω)になります。
#これは地道に計算すれば出てきます。
つまり「瞬間中心」は円の中心の上方 v/ω にあり、円の進行方向とは反時計回り90度の方向にあります。

質問者様の感覚では、 (vt, v/ω)から円盤上の任意の点へのベクトル方向の任意の点加速度は
(vt, v/ω)から円盤上の任意の点への距離をRとするとRω^2 になるということですが

(vt, v/ω)から円盤上の任意の点(r)へのベクトルを b としましょう。

b = r - (vt, v/ω)

計算するまでもなく、円の中心の加速度を a とすると、円盤上の任意の点の加速度には
この a が加わりますから、b方向の加速度は、aとbが垂直でない限り影響を受けます。

ωに時間変動があるならさらに複雑な話になるでしょう。
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No.3です。

時間ができたので、少し詳しく。

点Cから見た点Aの座標(ベクトル)を Ra、点Cから見た点Bの座標(ベクトル)を Rb、点Aの速度(ベクトル)を Va、点Bの速度(ベクトル)を Vb としましょう。

微小時間 Δt 後の点Aの座標(ベクトル)を Ra2、微小時間 Δt 後の点Bの座標(ベクトル)を Rb2とすると、
  Va = (Ra2 - Ra) / Δt
  Vb = (Rb2 - Rb) / Δt
です。

そのときの点Cを中心とした角速度を ω とすれば
  Ra2 - Ra = Ra*ω*Δt   (1)
  Rb2 - Rb = Rb*ω*Δt   (2)
と書けます。
 つまり
  Va = Ra*ω*Δt / Δt = Ra*ω
  Vb = Rb*ω*Δt / Δt = Rb*ω

加速度は、これを時間で微分したものですから、
  Aa = d(Ra*ω) / dt = ω * d(Ra) / dt + Ra * dω/dt
  Ab = d(Rb*ω) / dt = ω * d(Rb) / dt + Ra * dω/dt

回転軸固定の回転運動の場合には、
  d(Ra) / dt = 0, d(Rb) / dt = 0
ですが、お示しの問題の場合には、点C自体がどのように運動するのか分からないので、一般には
  d(Ra) / dt ≠ 0, d(Rb) / dt ≠ 0
です。

d(Ra) / dt 、d(Rb) / dt の項が求まるのであれば加速度は求まると思いますが、「これらの速度に垂直な線を描くと、その交点が瞬間中心C」ということであれば、d(Ra) / dt 、d(Rb) / dt は求まりません。
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「加速度」は「速度の時間変化」ですから、「瞬間」だけでは定義できません。



 「中心点Cの位置、速度に変化がない」という特殊条件、つまり「Cを中心とした回転方向の加速度(外力)しかない」という条件で考えれば求められると思いますが、「点Cが動く」という一般条件では求められないでしょう。
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>AとBの角速度は一致すると学習しました



すいません、確かに一致しますね。最近ボケてます。

速度をそのままに系全体の並進運動の加速度を任意に
変えられますから、半径方向も変化してしまうと
思います。
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>この瞬間、剛体はCを中心として回転しているとみなせます。



それはムチャです。例えば
・AとBの角速度は一致しますか?
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この回答へのお礼

tknakamuri様、回答下さりありがとう御座います。
AとBの角速度は一致すると学習しました。
http://okwave.jp/qa/q7414368.html

お礼日時:2015/10/03 08:57

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Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Qハーモニックドライブ減速機について

ハーモニックドライブ減速機構の用途例について教えてほしいです。
また使用上の注意点などもあったら教えてほしいのですが・・・

Aベストアンサー

ハーモニックドライブの利点として1、大きな減速比がとれる
2、バックラッシュが無い等があげられます
1の減速比に関しては小さなモーターでも大きなトルクを発生できる
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2のバックラッシュについては正逆運転時においても精度が確保できることが
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以上より産業用ロボットに使用されるのが大半ではないでしょうか
この用途では一時はシェア90%を越えていたと思います、最近では遊星減速機を
応用した帝人精機のRV減速機というのが出ておりハーモニック一辺倒では
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使用上の注意としては組付けを間違えないことが第一です、フレクスプラインは
以外と弱いので一歯ずれるとアウトです
また入出力軸の取り付けもできるだけ精度をとるようにした方がよいです
以上簡単ですが参考にしてください

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

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であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

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より、両辺をzで積分して

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よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
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Qエクセルギーが分かりません

 今エクセルギーを勉強しているのですが いまいち理解が出来ません。エクセルギーとは「ある系が周囲温度と平衡に達するまでに、他の系に与える最大仕事のこと」だとは分かりました。
 このエクセルギーの計算ですが、調べたHPで系の温度と周囲温度の値による熱エクセルギー比の変化というものがありました。
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Aベストアンサー

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なお、♯3の訂正です。

カルノーサイクルでは、熱源の温度は十分大きいとしていて×→熱源の大きさは十分大きいとしていて

Q開いた系についての概念について

今解いている開いた系の問題の解答を見ると
PV線図を作図する際、等温変化の曲線が直線になってます。間違いだと思うのですが違いますか?
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 あとエンタルピについて質問です。エンタルピを考える時って開いた系の時だけですか?
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という変形は開いた系の時しか使えないのでしょうか?僕の考えでは、仕事を求める際圧力が変化し、PΔVで仕事が求まらない時にに上の式を使って変形して求まった仕事が工業仕事だと思うのですが違ってますか?教えてください!

Aベストアンサー

開いた系の P-V線図が反比例曲線の一部になるってことですよね?
おそらく levinoさんのお考えで正しいと思います。
そもそも、状態方程式は、閉じた系、開いた系によらず使えますから。。。

あと、エンタルピーですが、開いた系のときだけ登場しますね。
エンタルピーの定義は、簡単に言えば「系を出入りする全エネルギー」なんですけどね。
いや、かなり誤解を招く表現だと思いますんで、もうちょっと詳しく説明してみます。

閉じた系で考えるのであれば、系を出入りするエネルギーは熱しかありません。
つまり、仕事や内部エネルギーが熱以外の形で系を出入りすることはないんです。

ところが、開いた系では文字通り「開いている」わけですから、ある意味で何でもありです。
物質が系を出入りすることも自由です。
物質の出入りがあれば、当然そこにエネルギーの出入りも発生します。
たとえば、膨張した気体が漏れ出した場合には、仕事としてのエネルギー損失がありますし、そもそも気体の出入りがある時点で内部エネルギーの増減もあります。
このように物質の出入りによるエネルギーの増減は、「熱」とは呼べませんよね。

そこで導入されたものが「エンタルピー」ってやつです。
要するに、熱だけでなく他の物質の出入りによる仕事や内部エネルギーも含めて「出入りするエネルギー全体のことだよ」ということを、エンタルピーと呼ぶことにしたんです。

ご参考までに、エンタルピーに関するうまい説明をしているページをみつけましたので、参考URL に張っておきます。

また、閉じた系では絶対仕事 PdV、開いた系では工業仕事 VdP を使用しますね。

開いた系で PdV が求まらないのはある意味当然の話で、そのために工業仕事 VdP という量が導入されたんです。

こんな感じでいかがでしょうか。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/enthalpy.html

開いた系の P-V線図が反比例曲線の一部になるってことですよね?
おそらく levinoさんのお考えで正しいと思います。
そもそも、状態方程式は、閉じた系、開いた系によらず使えますから。。。

あと、エンタルピーですが、開いた系のときだけ登場しますね。
エンタルピーの定義は、簡単に言えば「系を出入りする全エネルギー」なんですけどね。
いや、かなり誤解を招く表現だと思いますんで、もうちょっと詳しく説明してみます。

閉じた系で考えるのであれば、系を出入りするエネルギーは熱しかありません...続きを読む

Qスターリングサイクルの熱効率を求めたいですのですが分かりません。

スターリングサイクルの熱効率を求めたいですのですが分かりません。
状態A,B,C,Dの圧力、体積、温度はそれぞれ(Pa,Va,Ta)(Pb,Va,Tb)(Pc,Vc,Tc)(Pd,Vc,Td)。比熱Cp、Cvは一定とする。
等温過程(A→B,C→D)と定積過程(B→C,D→A)の組み合わせ。高温の熱源(Th)にA→Bで接触、低温の熱源(Tl)にC→D接触している。
こういう問題なんですが、解いても答えが合いませんでした。違うところがあったら指摘してください。お願いします。
A→Bの過程を(1)とし、B→Cの過程を(2)、C→Dの過程を(3)、D→Aの過程を(4)とする。

Q(1)=Cv(Th-Tl)
Q(2)=R×Th×log(Vc-Va)
Q(3)=Cv(Tl-Th)
Q(4)=R×Tl×log(Va-vc)

η=1-{Cv(Th-Tl)+R×Th×log(Vc-Va)}/{Cv(Tl-Th)+R×Tl×log(Va-vc)}

Aベストアンサー

理想的なカルノーサイクルでは,熱効率は一意的に
η= ΔT/Th = 1 - Tl/Th
というわけですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/カルノーサイクル

一般にスターリングエンジンでD→A,B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に,
η = [ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ Cv(Th - Tl) + RTh log(Vc/Va) ]
≒[ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ RTh log(Vc/Va) ]
= (Th - Tl)/Th = 1 - Tl/Th
となると思います。

Q回転する棒のある瞬間の慣性モーメント

こんにちは、いつも勉強させてもらっております。

ある物理の問題で、私の解法が模範解答と異なるため、添削頂き、間違っている点を
ご指摘頂きたく質問させて頂きました。どうか宜しくお願いします。

添付の図の上段をご覧下さい。質量Mの棒abの両端がそれぞれのスライダーの上を
動けるように固定されています。
左端aは鉛直方向に、右端bは水平方向にそれぞれ動けるようなスライダーです。
左端にはスライダーに沿ってバネ(定数: k)が仕込まれております。

はじめ、棒は水平方向に押さえられており、このときのバネの長さが自然長であるとします。
今、「はじめ」の状態から、棒abをリリースして、棒abが図のように水平方向と角度θとなったとき、
左端aの速度を求めよ、という問題です。

私の解法を次に示しますので、どうか検証頂ければと思います。

はじめの状態でのエネルギーをゼロとして、
角度がθとなったときのエネルギーの合計がゼロとなるようにして求めたいと思います。

バネの弾性エネルギー: 0.5k(Lsinθ)^2
重心(abの中点)の位置エネルギー: -Mg x 0.5Lsinθ
重心の運動エネルギー: 0.5MVg^2
棒の回転の運動エネルギー: 0.5Iω^2

これらの総計がゼロであるという式を立てます(式1)

ここで未知数は、
重心の速さVg、棒の慣性モーメントI そして棒の角速度ωとなります。

そして、aとbの速度の向きが規制されている点に着目し、棒の回転について
瞬間中心cを求めました(添付の図の下段: 角acbは直角)。この瞬間、
棒のどの点もこの瞬間中心cを中心に角速度ωで回転しています。ですので、
このことから棒の慣性モーメントを求め、重心の速さと棒の角速度の関係を
求めることができます。

棒の慣性モーメントは、次のようにして求めました。
棒の重心(aとbの中点)を回転軸とした場合の棒の慣性モーメント:Ig = (ML^2)/12
に重心Gからc点までの距離(L/2)の二乗と棒の質量をかけたものを足します(平行軸の定理)。
I = Ig + m(L/2)2 = (ML^2)/3

また、Gから瞬間中心までの距離(L/2)が半径となり、
重心の速さVg = 回転の半径(L/2) x ωとなります。

以上により、未知数はωだけとなり、式1からωが求まります。

ωは点aの点cまわりの回転の角速度でもあり、点cから点aまでの長さ(Lcosθ)も
分かっているため、点aの速度は、大きさがωLcosθで鉛直下向き、となるかと思います。

いかがでしょうか。誤りなどご訂正頂ければと思います。

■なお、模範解答では、
やはり瞬間中心を求めて、gとその距離からVgとωの関係をもとめて
Vg = (L/2)ω
としているまでは同じなのですが、

運動エネルギー = 0.5m(Vg^2) + 0.5Ig(ω^2) = (1/6)m(Lω)^2

と記されており、Ig = (1/12)mL^2 で計算されれています。
これは、私の知る限り、重心を回転軸とした棒の回転の慣性モーメントであり、
模範解答では回転の中心が重心Gであると言っているのではないかと思っています(模範解答自体には
特にそのような記述はなく上の運動エネルギーの式が示されているだけです)。


いかがでしょうか。長くなってしまい申し訳御座いませんが、真剣に悩んでおりまして、
どうか宜しくお願いします。

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動けるように固定されています。
左端aは鉛直方向に、右端bは水平方向にそれぞれ動けるようなスライダーです。
左端にはスライダーに沿ってバネ(定数: k)が仕込まれております。

はじめ、棒は水平方向に押さえられており、この...続きを読む

Aベストアンサー

誤りはきわめて基礎的な部分にあります。

運動方程式を,重心運動と回転運動に(相対的に)独立に分ける場合,
「回転運動は,重心まわり」
なのです。したがって,慣性モーメントは重心まわりのものを使わなければなりません。

重心の運動は,重心の運動方程式(から得られるエネルギー原理)で独立に記述しているのですから,当然の話です。もちろん,重心は常に瞬間回転中心にはなっておらず動いています。したがって,もし瞬間回転中心まわりの運動を方程式に立てるならば,その中に重心運動を含んでしまうことになりますね? それでは重心運動と独立な回転を取り出したことにはならない(重心の運動エネルギーを2重にカウントしてしまう)のです。

ちなみに,回転軸をどこに置こうと回転の角速度は同じであることに留意して下さい。

Q一巡伝達関数と開ループ伝達関数

一巡伝達関数と開ループ伝達関数は何が違うのでしょうか?
本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか?
インターネットでは一巡伝達関数と開ループ伝達関数は同一視していますが、私の学校の教科書では開ループ伝達関数はフィードバック系を取り除いたときのもの(すなわちC(S)P(S))、一巡伝達関数は閉ループ系を一巡したときのもの(すなわちC(S)P(S)H(S))となっています。

ご存じの方がいたらご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

教科書の定義が正しいです。

一巡伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、ループ全体一周する伝達関数で、ループの安定性(位相余裕など)なんかを調べるときに使います。

開ループ伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、入力と出力の比です。

つまり、ループを切り開いて考えるのは同じですが、一巡伝達関数がループを一周(フィードバックの要素も考える)のに対して、開ループ伝達関数は入力と出力の比です(したがってフィードバックの要素は考えない)。

フィードバックの要素がない場合には、2つは同じになります。


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