数学で分からない問題があります。

どんな正の数x,yに対しても(x+y)^4=<c^3(x^4+y^4)が成り立つようなcの範囲を求めよ。

お力添えよろしくお願いします。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/09 13:10

かたくなに微分したくない人はコーシー=シュワルツの不等式から

(x+y)^2 ≦ 2(x^2+y^2)
を使ってやるといいぞ.

No.3 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/09 03:33

No.2です

もしも、xの微分及びその式変形が辛いなら、
x=1/2k+a, y=1/2k-a
とおいて、4乗の和を計算
それをaに関して微分して、a=0で最小と言う方法もあります
こっちの場合は、4乗した時に打ち消し合う項があるので、微分が楽ですしa=0で最小と言う=因数分解も簡単です

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/09 03:19

x+y=kとした時、どのような組み合わせの時に右辺が最小となるか考えます

(例えば足して10になる時、10,0の組が最小か、5,5か。なんとなく5,5と答えたくなりますが導きます)

x^4+y^4=x^4+(k-x)^4となります
これをxに関して微分して整理すると
(2x-k)((x-k)^2+kx)=0
となります
右辺はゼロより大きいので、x=1/2kで極小=最小と出ます(k=10なら、5,5で最小)

つまり、
x^4+y^4≧(1/2k)^4+(1/2k)^4=1/8k^4 (k=10なら4乗の和は1250より大きい)
となります

c^3(x+y)^4≧c^3*1/8k^4≧(x+y)^4=k^4
(c^3*1250が、10000より大きくないとダメ)
なので、c≧2となります

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/09 02:03

c ≧ 2, かな.