【力学】難問です。どうやっても解けません。

【問題】
二本の水平な棒が、角度2Φ（0＜Φ＜π/2）で交わっている。
棒の交点に質量M、半径Rの球を置き、角度2Φの丁度間の方向に静かに押したところ、
球は滑らずに転がり、棒から離れて落下した。
球が棒から離れる瞬間の速度と角速度を求めよ。


問題の状況等は画像の通りです。
ここから微分方程式を立てても、決して解けたものではありませんでした。

何か画期的な方法やヒントとなる情報だけでもいいので教えてください。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 書き忘れてましたが、棒の太さは無視できるものとします。

    補足日時：2015/10/10 09:10

• 画像が見づらかったためアップロードしました。
  
  http://uploda.cc/img/img5619255630214.jpg
  http://uploda.cc/img/img56192a96657c1.jpg
  
  上は質問の画像で、下はOAの長さをZとしたときの微分方程式です。

    補足日時：2015/10/11 00:14

• http://uploda.cc/img/img561b0c07461b0.jpg
  
  式にミスがあったため直しました。
  t=0の状態は容易に想像できると思います。
  x,y,z,ω,N,Fのうちどれか一つでもtで書き表せれば、その他はすべてtで書き表せると思われます。

    補足日時：2015/10/12 10:48

No.7 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/14 01:31

ANo.5へのコメントについてです。

> 摩擦力Fも急減少します。

そうなのかな。で、そうだとしても、それでも「滑らない」ということを前提にしてるんですよね？

> このことから、角速度が急増加するとは考えにくいのではないでしょうか。

　接点が回転軸に近づけば、少し進むだけで球の重心は大きく下がる。そのエネルギーはどこに行くんでしょ。前提は「滑らない」ですから、球が棒から離れてしまうまでは角速度が増え続けねばならない。
　なので、どこかで話が破綻しないでしょうかね、ってことです。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/12 10:11

>φ≒0でないならばナントカなりそう

ですね。接点を結ぶ線と球の中心との距離は (sinΦ)^2・x (x:球の中心のx座標)以下にはならないので、落ちる間際、あまり過激な状態には
ならないような気がします。

この回答へのお礼

引き続きありがとうございます。

これで運動の様子は殆ど決まったのではと考えています。
あとは解くだけといったところでしょうか。

問題はどの変数にまとめれば解ける式になるのかです。
ここにはない変数を扱わないといけないかもしれないです。

お礼日時：2015/10/12 11:00

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/12 01:33

ANo.4のミスタイプを修正。

> φ≒0ならばナントカなりそう

φ≒0でないならばナントカなりそう

の書き損ないでした。（「接点が球の回転軸にごく近く」になる前に落ちるんで、重心の速度によって球が棒から離れて落ちるだろうからです。）

この回答へのお礼

引き続きありがとうございます。

Φ≒0といっても、Φが極限まで0に近い状況と、少なくともΦが存在して0ではない状態では、観察される様相はまるで違うように思います。

具体的に「Φが○○以下の時、前提が怪しくなる」という数値が決定できるようには思えないので、おそらく少なくともΦが存在して0ではない状態でも「重心の速度によって球が棒から離れて落ちるだろう」と思います。

そもそも問題の状況から、トルクとなり得る力は摩擦力Fのみで、その摩擦力Fは垂直抗力Nで上から押さえつけられています。また、球の重心の速度が上がると同時に曲率半径も小さくなって行くため、遠心力は急増加します。そうすると垂直抗力Nは急減少し、垂直抗力Nにより上から押さえつけられている摩擦力Fも急減少します。
このことから、角速度が急増加するとは考えにくいのではないでしょうか。

否定的な意見ばかりですいません。
ただ、様々な仮定を考えるほど運動の様子もより確立されたものになっていくと感じているので、今後とも協力のほどよろしくお願いします。

お礼日時：2015/10/12 10:17

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/12 00:44

ANo.3へのコメントについてです。

　棒と球の接点における球の接線速度が、球の角速度および球の重心の速度の両方と整合している、という条件が常に保たれているとする。ならば、接点が球の回転軸にごく近くなれば、重心がほんの僅か前進する間に球は猛烈に回転しなくちゃならん訳ですから、落ちる直前には大きな摩擦力が生じる。大きなトルクを掛けて角速度を急に上げねばならない。そのエネルギーは球の重心の運動エネルギーから取られるんで、落ちる直前に球は急減速し、かつ急回転することになる。φ≒0ならばナントカなりそうだけれども、いつでも解があるかどうかは考察しないとな、と思います。いざ落ちるという段では、重力加速度が球を棒に押し当てている、という前提そのものも怪しくなるかもしれない、ということも考慮しないとイカンかも知れません。
　ま、そういうことをひっくるめて、摩擦という概念そのものが現象論的な意味での近似に過ぎないんで、どこかで話が破綻するんじゃなかろうか、と思う訳です。

この回答へのお礼

確かに気になったので確認してみたところ、
球が棒から離れる瞬間（F=0,N=0）で計算をしたら、
今までの考察とは違う等式が成立したりしました。

ただ、それらの等式は球が初めに持っていたポテンシャルエネルギーがすべて回転のエネルギーに変換されたと考えると、確かに成り立ちます。
ただし、いざ落ちるときに前提が通用するかしないかで解が変わってきてしまいました。
また考え直してきます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/12 01:18

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/11 23:44

「ピタゴラ装置」みたいな話ですね。

球の表面上に棒との接点の軌跡を描くことを考えてみれば、球が落ちる直前には「滑らずに」という話が破綻せざるを得ないんではないか、という気がする。だとすれば、落ちる瞬間より微妙に前までの運動を計算するところで止めておく（そこで棒をぱっと消滅させると考える）のが良さそうだなあ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

今まで図にある鉛直平面上の問題と捉えていたので、「球の表面上に棒との接点を描く」という事は考えもしていませんでした。
明日それについて考察してみようと思います。

「『滑らずに』という話が破綻」し得る事ついては、
①棒からの抗力がゼロになる瞬間
②抗力の作用点が球の回転軸上に来る
と言う2つの状況しか私には考えつきませんでした。

①については棒からの抗力が存在すれば、そのトルクはもれなく角速度に変換される物と考え、ゼロになった瞬間に棒から離れるものと考えています。現実なら滑りそうですが・・・

②については抗力の作用点が球の回転軸上に来ると考えると、その直前にトルクはゼロに限りなく近づくわけですから、限りなくゼロに近かれど存在すれば角速度に変換され、ゼロなれば離れると考えています。

また、球が棒から落ちる瞬間がまだわかっていないのですが、その瞬間の運動方程式には何かしらの変化がありそうなのでそれについても考察します。


ココに書いたことに何か疑問等がありましたら、またご意見の方よろしくお願いします。

お礼日時：2015/10/12 00:15

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/11 13:34

かなり手ごわいですね。

中途半端ですが、やったところまで。
球の中心位置を(x, y) とすると

√(R^2-y^2)=sinΦx
y =√(R^2-(sinΦ)^2・x^2)
棒と球が接する x 座標と 球の中心の x 座標の差 L は

L=√(R^2-y^2)sinΦ =(sinΦ)^2・x

球はある瞬間、棒と接する点を結ぶ直線を回転軸に
回転するが、回転軸と球の中心との距離 r は

r^2 = L^2 + y^2 = (sinΦ)^4・x^2 + R^2 - (sinΦ)^2・x^2
= R^2 + x^2((sinΦ)^4 - (sinΦ)^2

回転速度ωは、球の中心の速さ を v とすると
ω^2 = v^2/r^2 = v^2 / (R^2 + x^2((sinΦ)^4 - (sinΦ)^2)

エネルギー保存則から

(1/2)Iω^2 + (1/2)Mv^2 + yMg = RMg

なので、x に対する v や ω が計算できます。

問題は、球がいつ棒を離れるかということでしょう。

x = R/sinΦ のところで離れるのなら楽なんですが、球
と棒との間の束縛力が0になる点を見極めないとやばそうです。

やっぱり x = R/sinΦ のところでぽろっと落ちるのかな？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
　考えた当初は、定数がM・R・Φ・ｇだけで、球と棒だけという簡単なものしか扱わない問題だった上、運動する様子も日本テレビの「謎解きバトルTORE!」に出てくる「鉄球の試練」のようなもの（知らなかったらごめんなさい）でイメージしやすかったためすぐに解けると思っていたのですが・・・
　運動方程式を立てることすらままならなくて大変驚きました。


ここからは回答についてです。

「球はある瞬間、棒と接する点を結ぶ直線を回転軸に
回転する」

　とありますが、球の中心は、半径と中心位置が連続的に変化する曲率円上を円運動していると考えることもできます。
　そして、この曲率円の中心（図のO’）は球の中心位置（x,y）が（R/sinΦ,0）に近づくにつれて、「棒と接する点を結ぶ直線」に近づいていきます。（このことを①とする）
　また、球の中心位置（x,y）が、”常に”
√(R^2-y^2)=sinΦx
　を満たしながら動く事と①から、球は「球はある瞬間、棒と接する点を結ぶ直線を回転軸に回転する」ように近似できるだけであって、完全に円運動にはならないと思われます。

「やっぱり x = R/sinΦ のところでぽろっと落ちるのかな？」

という事ですが

　摩擦力F＜垂直抗力N
と、ｘ軸方向の運動方程式から、球には常にx軸の正の方向に力がかかっていると考えるのが自然です。
　このことから、球は常にｘ軸の正の方向に速度を持っていると考えられます。（この事を②とする。）

　ここで、x = R/sinΦの点について考えると、この点での楕円の接線の
方向は鉛直下向きです。（仮に球がある点で円運動に移ると考えても、接線の方向は鉛直下向きになります。）
　つまり、x = R/sinΦの点で球が棒から離れると考えると、球は棒から離れる瞬間ｘ軸の正の方向に速度を持たないことになり、②に反します。


細かい運動については想像しづらいところもあり、かなり手ごわいです。
私も分かったことは随時補足していこうと思っているので、今後も手を貸していただけるとありがたいです。宜しくお願いします。

お礼日時：2015/10/11 16:32

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/10 11:15

「静かに押したら転がり始め、棒の間隔が球よりも大きくなったところで落下した」ということですか？

球が落下するときの「棒の間隔」および「交点からの距離」は、幾何学的に求まるでしょう。

あとは「棒から離れる瞬間の速度・角速度」を求めたいということでしょうか。

（１）まず、「初速度」が不明ですが、「静かに押した」ということは、初速度はゼロということでしょうか。

（２）球に働く加速度は、重心位置での重力加速度で代表できると思います。これが「2本の棒の間の鉛直下向きに働き、2本の棒の反力の水平方向成分によって水平方向の加速度が生じる」ということかと思います。
　最終的に「球の中心の進む方向」（水平方向、鉛直方向）の力の成分を計算できれば、あとは F = m*a で加速度を求めればよいのですが、この力自身が球の重心の座標とともに変化しますから、ちょっと複雑です。
　一種の「斜面を転がり落ちる球」と同じような計算ですが、斜面の斜度が一定ではなく、曲線で斜度が変化する斜面だと思います。

（３）また、「角速度」には「球の回転運動」を考えます。これは、球が棒に接する位置と、重心位置との関係から、力のモーメントを求める必要があります。

　幾何学的にけっこう複雑な「角度」とそれに対する三角関数を使わないといけないので、確かにきちんと解くのは大変そうです。「微分方程式」の前の「三角関数」の部分が大変そうです。
　「画期的な方法」はなく、上記の「基本的な枠組み」を力づくで進めるしかないのではないでしょうか。
　解けないことはないのでしょうが、「解析的に解ける」かどうかは分かりません。

　時間がないので、ここまでで失礼します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「静かに押したら転がり始め、棒の間隔が球よりも大きくなったところで落下した」

とのことですが、おそらく楕円の曲率半径による遠心力の増加により、グラフのOA方向の力のつり合いから垂直抗力がゼロになった瞬間に棒から離れます。

（1）その通り、「静かに押した」という事で初速度はゼロです。

（2）おっしゃる通り、球の重心の軌道は画像の下のグラフのような楕円を描きます。

（3）回転運動の運動方程式は
（2MR^2）/5（ｄω/ｄｔ）＝ｙF（ω：角速度、F：摩擦力）
と一応求まってはいます。

かれこれ二か月ほど考えているので非常に複雑な問題であることは承知の上です。
また何か分かりましたら回答していただけるとありがたいです。宜しくお願いします。

お礼日時：2015/10/10 19:11