剛体の力学で「板が壁に立てかけてある。壁と板、床と壁の静止摩擦係数はそれぞれ0.5、0.4である。板

剛体の力学で「板が壁に立てかけてある。壁と板、床と壁の静止摩擦係数はそれぞれ0.5、0.4である。板の重さが2kgのとき最小傾角はいくらになるか求めよ。」という問題で
全くわからないので途中式、回答有りで解説をお願いします。

No.6 回答者： keechan4 回答日時： 2015/11/28 14:30

摩擦係数をa=0.5,b=0.4、垂直抵抗力をA,Bとすると、

最大摩擦力はそれぞれ aA、bB です。
限界のときのつり合いの式を書きます。
水平方向　bB=A
鉛直方向　W=B+aA
Bを消去すると
W=A/b+aA
W/A=(1+ab)/b----(1)
板の水平距離をx,高さをyとします。
B点のまわりのモーメントのつり合いの式は
0=-W(x/2)+Ay+aAx
((W/2)-aA)x=Ay
tanΘ=y/x=(W/2A)-a
(1)を代入
tanΘ=((1+ab)/2b)-a=(1-ab)/2b
=(1-0.5*0.4)/2*0.4=0.8/0.8=1
Θ=45°

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/11/27 14:16

ANO3です。

ここもタイボですね。申しわけない。

>fF/fF≦0.5 の場合、fWを大きくすると
fF/FF≦0.5 の場合、fWを大きくすると

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/11/27 14:09

AN03です。

タイポ

>床が板を上方向に引っ張るまさつ力をfF
床が板を左方向に引っ張るまさつ力をfF

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/11/27 12:04

壁が板を押す垂直抗力をFW

壁が板を上方向に引っ張るまさつ力をfＷ

床が板を押す垂直抗力をFF
床が板を上方向に引っ張るまさつ力をfF

とすると、釣り合いの方程式は

mg=fW+FF、FW=fF、(fW-FF)sinθ+(FW+fF)=0

fFとFFをfＷで表すと

FF=mg-fW, fF=(mg/2-fW)tanθ

fF/FF={(mg/2-fW)/mg-fW)}tanθは明らかにfWに対して
単調減少なので、

fF/fF≦0.5 の場合、fWを大きくすると、θの限界は
より大きくなります。

fW≦0.4FW=0.4fF で、限界点では fF=0.5FF であることを考慮すると

fW の限界値は 0.2FF

mg=fW+FF だから FF=(1/1.2)mg=(5/6)mg、fW=(1/6)mg

fF/FF={(mg/2-fW)/mg-fW)}tanθ=(2/5)tanθ=0.5
tanθ=5/4

θ=51.3°

計算に誤ってたらすいません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/25 17:54

壁と板、床と板との間の力を考えます。

　鉛直方向には、板の重力がかかり、その大きさは
　　m*g = 2 (kg) * 9.8 (m/s^2) = 19.6 (N)
これが「板が床を押す力：F1」と「板が壁を滑り落ちる力：f1」の合計に等しくなります。
　　F1 + f1 = 19.6　　（１）

　水平方向には、板と床に「板が床を滑る力：F2」、板と壁との間には「板が壁を押す力：f2」が働きます。
　水平方向には外力は働かないので、
　　F2 = f2　　（２）

　床の水平面と板との角度（仰角）を θ 、板の長さを L とすると、板と床の接点を中心とするモーメントは、
　　(L/2) * m*g*cosθ = L * f2*sinθ + L * f1*cosθ
両辺から L を消去して、m*g = 19.6 (N) を代入して
　　9.8 = f2*tanθ + f1　　（３）

　滑らないためには、板が床を滑る力：F2 の大きさは、静止摩擦係数 0.4 から
　　F2 ≦ F1 * 0.4 (N)　　（４）
板が壁を滑り落ちる力：f1 の大きさは、静止摩擦係数 0.5 から
　　f1 ≦ f2 * 0.5 (N)　　（５）
です。

　滑り始める臨界角 θ に対しては、（４）（５）は等号が成立するので、これを解いて
　　　F1 = 19.6/1.2 ≒ 16.3 (N)
　　　f1 ≒ 3.3 (N)
　　　F2 = f2 ≒ 6.5 (N)
（３）より
　　　tanθ ≒ (9.8 - 3.3) / 6.5 = 1
よって　θ ≒ 45° となります。


　似たような例題として、図も載っていますので、下記の「例2」も参照してください。こちらでは、モーメントの中心点を「板（棒）の重心」に置いていますので注意ください。
http://fnorio.com/0130ladder_&_friction/ladder_& …