おしえて

量子力学の交換関係について

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質問者：IQ38
質問日時：2015/12/09 15:27
回答数：11件

こんにちは、

下記HPのA22によりますと

[p,x]=ih
[x,x]=0
[p,p]=0
ですが、
[x,y]=0
[px,py]=0
でよろしいでしょうか？

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/ryousir …

お返事有難う御座います。

＞括弧内の演算子はベクトルなので、質問されているような内容は演算できません。

[x,x]=0
は計算出来て
[x,y]=0
は、なぜ計算出来ないのでしょうか？

角運動量は、下のHPの式（1.3.6）式（1.3.7）の通り、非可換なのですね。
すると、[px,py]も計算できるのではないでしょうか？

http://www.chem.ous.ac.jp/~waka/compchem/angular …

No.1の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/09 19:53
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お返事有難う御座います。

＞あなたのいうpxやpyの意味がよくわからないのです。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83 …

のx軸とｙ軸方向のベクトル（それぞれ大きさと向きを持った量）だと認識しております。

４次元だと、ややこしいので、この世界がｘ軸の１次元しかないとします。
その場合、

[px,x]=ih
[x,x]=0
[px,px]=0
は、成立するのでしょうね。

では、それが、２次元になって
[x,y]
[px,py]
は、なぜ計算出来ないのでしょうか？
[x,x]=0
[px,px]=0
なら、これらは、”０”ではないのでしょうか？

No.2の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/09 20:47
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お返事有難う御座います。

ご教示頂いている通りだと思います。
どの資料を見ても、
[x,y]=0
[px,py]=0
とは書かれていませんので、、、、、（ですから質問したのですが）

再度、調べます。

No.3の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/09 21:27
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お返事有難う御座います。

下記HPのP２を見ますと
xpx −pxx = ih, ypy −pyy = ih, zpz −pzz = ih
ypx −pxy = 0, zpx −pxz = 0, xpy −pyx = 0, zpy −pyz = 0, xpz −pzx = 0, ypz −pzy = 0
とあります。
http://qft.jp/quantumF.pdf

運動量の演算子は
px =−ih ∂/∂x
py =−ih ∂/∂y
pz =−ih ∂/∂z
です。
この計算に従いますと、
[x,y]=ｘｙ－ｙｘ＝０
[px,py]= pｘpｙ－pｙpｘ＝０
では、ないでしょうか？

[x,ｘ]=ｘｘ－ｘｘ＝０
です。[y,y]=yy－yy＝０
です。
[x,y]=ｘｙ－ｙｘ＝０
になると考えます。

補足日時：2015/12/10 17:38
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お返事有難う御座います。
[px,py]ψ= pｘ(pｙψ)－pｙ(pｘψ)＝？
これは“０”です。
１項目は、まずpｙψ＝○○となります。この○○は、ｘ成分を含みません。
従って○○にpｘを作用（ｘで偏微分）させたら、“０”です。
２項目も、同様に、“０”です。
ｙ＝ｘ＾３を、ｚで偏微分すると、“０”になるのと同じです。
[px,y]ψ= pｘ(ｙψ)－ｙ(pｘψ)＝０
[px,px]ψ= pｘ(pxψ)－px(pｘψ)＝0
から、そのように推測します。
X,yとpx,pyは、それぞれ同時に観測可能ということになると思います。

No.6の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/10 18:43
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xpx −pxx = ih, ypy −pyy = ih, zpz −pzz = ih
の計算は、
px =−ih ∂/∂x
py =−ih ∂/∂y
pz =−ih ∂/∂z
にすると成立します。
ypx −pxy = 0, zpx −pxz = 0, xpy −pyx = 0, zpy −pyz = 0, xpz −pzx = 0, ypz −pzy = 0
の規則に
[px,py]
を当て嵌めると
pypx −pxpy = 0
になると思います。

No.7の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/10 19:51
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お返事有難う御座います。
＞ψ=x^yとか代入して計算したら？
やってみます。

[x,y]=0
[px,py]=0
と記載した資料等がないかも更に調べます。

No.8の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/10 20:21
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お返事有難う御座います。
＞清水明「新版量子論の基礎」サイエンス社 p.115(式4.22)
を調べます。
ちょっと、時間かかります。

No.11の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/12 09:28
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お返事有難う御座います。

やっぱり、
[x,y]=0
[px,py]=0
です。

下記にも、載っていました。

http://wondephysics.web.fc2.com/physicsfield.html

(0)ラグランジアン密度と運動方程式　～変分原理・対称性・不確定性原理～

また、[a,b]=ab-ba と定義される括弧（交換関係）を使って表される次の関係(演算子として表された正準共役な変数 q,p 同士の交換関係）を
正準交換関係という。この量子力学での交換関係は、古典力学のポアソン括弧に相当する。

No.9の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2015/12/12 09:51
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回答 (11件中1～10件)

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No.10ベストアンサー

回答者： Tacosan
回答日時：2015/12/11 17:09

ちょっと調べたら

http://akita-nct.jp/narita/blog/files/H25_Quantu …
なんてのがあったんだけど, これでは不足でしょうか?

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この回答へのお礼

お返事有難う御座います。
＞異なる成分どうしでは交換する。
やっぱり、これを見ますと、交換するから、”０”なんですね。

[x,y]=0
[px,py]=0
で正しいのですね。

波動関数に演算する演算子は、「交換する」「交換しない」の２種類なのですね。
演算できない。ということは、ないのですね。

このように明確に書いた資料を探せませんでした。
通常は、
[p,x]=ih
[x,x]=0
[p,p]=0
しか載っていませんので、

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お礼日時：2015/12/12 09:26

No.11

回答者： eatern27
回答日時：2015/12/11 23:08

交換子の定義から考えればほぼ自明な事だと思いますが、とりあえず書いてある文献が知りたいのであれば

猪木・川合「量子力学I」講談社サイエンティフィック p.37 (式2.67)
清水明「新版量子論の基礎」サイエンス社 p.115(式4.22)
がありました。ページ数、式番号は版によって多少違いがあるかもしれません。

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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

[x,y]=0
[px,py]=0
になることが確認出来ました。

ご教授頂きました
猪木・川合「量子力学I」講談社サイエンティフィック p.37 (式2.67)
清水明「新版量子論の基礎」サイエンス社 p.115(式4.22)
は、図書館に置いてなく確認出来なかったのですが、別の本
伊東正人著「量子力学がわかる」技術評論社P70（式4.68）
に式が載っていました。

この質問をさせて頂きました当初、99％自分が間違っていると思っていましたが
（その際、落ち込んでました）ご回答頂き、正しかったことが確認出来ました。
本当に有難う御座います。

しかしながら、最初に正解をご回答頂きましたTacosan様をベストアンサーとさせて
頂きます。このご回答によって、180度変わりましたので、、、