量子力学の交換関係について

こんにちは、

下記HPのA22によりますと

[p,x]=ih
[x,x]=0
[p,p]=0
ですが、
[x,y]=0
[px,py]=0
でよろしいでしょうか？



http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/ryousir …

質問者からの補足コメント

• 

  お返事有難う御座います。
  
  ＞括弧内の演算子はベクトルなので、質問されているような内容は演算できません。
  
  [x,x]=0
  は計算出来て
  [x,y]=0
  は、なぜ計算出来ないのでしょうか？
  
  角運動量は、下のHPの式（1.3.6）式（1.3.7）の通り、非可換なのですね。
  すると、[px,py]も計算できるのではないでしょうか？
  
  http://www.chem.ous.ac.jp/~waka/compchem/angular …

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/09 19:53

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  お返事有難う御座います。
  
  ＞あなたのいうpxやpyの意味がよくわからないのです。
  
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83 …
  
  のx軸とｙ軸方向のベクトル（それぞれ大きさと向きを持った量）だと認識しております。
  
  ４次元だと、ややこしいので、この世界がｘ軸の１次元しかないとします。
  その場合、
  
  [px,x]=ih
  [x,x]=0
  [px,px]=0
  は、成立するのでしょうね。
  
  では、それが、２次元になって
  [x,y]
  [px,py]
  は、なぜ計算出来ないのでしょうか？
  [x,x]=0
  [px,px]=0
  なら、これらは、”０”ではないのでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/09 20:47

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  お返事有難う御座います。
  
  ご教示頂いている通りだと思います。
  どの資料を見ても、
  [x,y]=0
  [px,py]=0
  とは書かれていませんので、、、、、（ですから質問したのですが）
  
  再度、調べます。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/09 21:27

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  お返事有難う御座います。
  
  下記HPのP２を見ますと
  xpx −pxx = ih, ypy −pyy = ih, zpz −pzz = ih
  ypx −pxy = 0, zpx −pxz = 0, xpy −pyx = 0, zpy −pyz = 0, xpz −pzx = 0, ypz −pzy = 0
  とあります。
  http://qft.jp/quantumF.pdf
  
  運動量の演算子は
  px =−ih ∂/∂x
  py =−ih ∂/∂y
  pz =−ih ∂/∂z
  です。
  この計算に従いますと、
  [x,y]=ｘｙ－ｙｘ＝０
  [px,py]= pｘpｙ－pｙpｘ＝０
  では、ないでしょうか？
  
  
  [x,ｘ]=ｘｘ－ｘｘ＝０
  です。[y,y]=yy－yy＝０
  です。
  [x,y]=ｘｙ－ｙｘ＝０
  になると考えます。

    補足日時：2015/12/10 17:38

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  お返事有難う御座います。
  [px,py]ψ= pｘ(pｙψ)－pｙ(pｘψ)＝？
  これは“０”です。
  １項目は、まずpｙψ＝○○となります。この○○は、ｘ成分を含みません。
  従って○○にpｘを作用（ｘで偏微分）させたら、“０”です。
  ２項目も、同様に、“０”です。
  ｙ＝ｘ＾３を、ｚで偏微分すると、“０”になるのと同じです。
  [px,y]ψ= pｘ(ｙψ)－ｙ(pｘψ)＝０
  [px,px]ψ= pｘ(pxψ)－px(pｘψ)＝0
  から、そのように推測します。
  X,yとpx,pyは、それぞれ同時に観測可能ということになると思います。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/10 18:43

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  xpx −pxx = ih, ypy −pyy = ih, zpz −pzz = ih
  の計算は、
  px =−ih ∂/∂x
  py =−ih ∂/∂y
  pz =−ih ∂/∂z
  にすると成立します。
  ypx −pxy = 0, zpx −pxz = 0, xpy −pyx = 0, zpy −pyz = 0, xpz −pzx = 0, ypz −pzy = 0
  の規則に
  [px,py]
  を当て嵌めると
  pypx −pxpy = 0
  になると思います。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/10 19:51

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  お返事有難う御座います。
  ＞ψ=x^yとか代入して計算したら？
  やってみます。
  
  [x,y]=0
  [px,py]=0
  と記載した資料等がないかも更に調べます。

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/10 20:21

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  お返事有難う御座います。
  ＞清水明「新版量子論の基礎」サイエンス社 p.115(式4.22)
  を調べます。
  ちょっと、時間かかります。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/12 09:28

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  お返事有難う御座います。
  
  やっぱり、
  [x,y]=0
  [px,py]=0
  です。
  
  下記にも、載っていました。
  
  http://wondephysics.web.fc2.com/physicsfield.html
  
  (0)ラグランジアン密度と運動方程式　～変分原理・対称性・不確定性原理～
  
  また、[a,b]=ab-ba と定義される括弧（交換関係）を使って表される次の関係(演算子として表された正準共役な変数 q,p 同士の交換関係）を
  正準交換関係という。この量子力学での交換関係は、古典力学のポアソン括弧に相当する。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/12 09:51

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/09 18:32

括弧内の演算子はベクトルなので、質問されているような内容は演算できません。