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量子力学を学んでいます。演算子の交換関係についてです。
[px,py]=0
が成り立つと量子力学の本に書いてあるのですが、
∂/∂xと∂/∂yの順序を交換しても結果が変わらないかは作用させる関数の形によるのに、順序を入れ替えても等しいとしているのはなぜですか?

質問者からの補足コメント

  • [px,py]=-h^2((∂/∂x)(∂/∂y)-(∂/∂y)(∂/∂x))
    (hはhバー)となると思いますが、
    (∂/∂x)(∂/∂y)-(∂/∂y)(∂/∂x)=0
    として良い理由がわからない、という質問です。わかりにくくてすみません。
    一般的に偏微分の順序を交換しても結果が変わらないかは関数によるはずです。例えば、
    f(x,y)=x^2+y^2
    は偏微分の順序を交換しても結果は変わらないが、
    f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
    は偏微分の順序を交換すると結果がかわってきます。
    それなのに、
    (∂/∂x)(∂/∂y)-(∂/∂y)(∂/∂x)=0
    としていい理由が知りたいのです。

    No.1さんの回答のように、このような関数は物理では考えなくて良いのですか?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/06/14 19:08

A 回答 (5件)

#1に書いたのは話をごまかしてるだけなので、理解するような話ではないのですけどね。



数学的な厳密性を重んじるとご質問のような話にも目を向ける事になるので見当違いの話をされてる訳ではありません。しかし、そこに目を向けると極めて複雑な話が待っています。物理というよりも数学になってしまうので、物理をやる分には「波動関数は十分滑らか」と思って先に進んでしまう方が良いです。(水素原子の波動関数が原点で発散しているように、滑らかでないもののの全てを排除している訳でもないですが)。

一通り勉強した後でも数学的な厳密性の話が気になる時、数理物理学の道に進みたいと思った時などにでも、数学的に書かれた教科書を探しましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!そういうものだと思って先に進むことにします。

お礼日時:2022/06/17 12:37

運動量と位置の演算子の順番を入れ替えた値が変わる非可換性が量子力学の際立った特徴であると言われてますが、古典力学でも、角運動量のように2つのベクトルの外積で表される物理量は、掛け合わす順序を変えると反数になります(つまり、Lが -Lになります)。


ちなみに、量子力学の演算子の可換関係は、位置をq_x, q_y, q_z, 運動量をp_x, p_y, p_zで表して、次の3式とまとめることが出来ます。
すなわち、位置成分同士とか運動量成分同士では可換であり、ある位置成分とそれと同じ成分の運動量に付いてだけ非可換なのです。
[q_r, q_s] = q_r q_s - q_s q_r = 0
[p_r, p_s] = p_r p_s - p_s q_r = 0
[q_r, p_s] = i (h/2π) δ_rs : すなわち、
 q_r p_r - p_r q_r = i h / 2π
 q_r p_s - p_s q_r = 0  (r ≠ s)
つまり、角運動量は位置ベクトルと運動量ベクトルの外積なので、例えばそのz成分はL_z = x p_y - y p_xのように、異なる成分の運動量と位置の組み合わせなってますが、量子力学で非可換性となる運動量と位置の組み合わせは[x, p_x]のように同じ成分であるという違いがあるのです。(量子力学で非可換性を示す物理量の組み合わせは、運動量と位置、エネルギーと時間、角運動量と角度(無次元)ですが、これらの次元は何れも角運動量であるという微妙な関係があります)

結局、量子力学で非可換の関係になる関数は、掛け合わせると角運動量の次元を有する2つのベクトルにおいて、同じ方向成分から成る特別な場合であると言えるでしょう。
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この回答へのお礼

たしかにそうですね。ありがとうございます!

お礼日時:2022/06/17 12:36

質問文や補足を見る限り「こうなる理由を数学的に説明して欲しい」と考えておられるわけですよね。

たぶんその発想自体が間違っています。恐らくですが、質問者様が考えておられるように「数学的に証明する事」はできないのではと思います。

この式は数学の式ではありません。量子力学、すなわち物理学の式です。物理学の式とは「自然界は実際にはどうなっているか」を表す式です。そして問題の式は「自然界はこうなっている」と言う事を表現したものですから「数学的な証明なんかできない」と考えたとしても何の問題もありません。
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この回答へのお礼

そういうものなのですね。ありがとうございます!

お礼日時:2022/06/17 12:35

「(交換関係が?)作用させる関数の形による」と言うのはどんな関数の場合でしょうか。

もしも演算子の交換の成否が作用させる関数によるとしたら、演算子と言う概念を考える意味がなくなるような気がしますが。
この回答への補足あり
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物理では基本的には十分に滑らかな関数しか考えないので。



これで回答になってなければ具体的にどんな例を考えているのか書いてみて下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!理解できました。

お礼日時:2022/06/14 19:10

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