生成消滅演算子について

a aダガーは複素共役になっているが
何故行列でもないのにエルミート共役（転置複素共役）になるのですか
よろしくお願いします

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/02/16 11:02

質問者は二つ勘違いをなさっています。

1.転置複素共役であることがエルミート共役であることの定義であると思っていること。
エルミート共役作用素を行列で表現すれば転置したものの複素共役をとったものになりますが、別にこれは定義ではなく、定義から得られる定理にすぎません。
エルミート共役の定義は下記のサイトでも見てもらえばよいでしょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4 …
この定義にしたがえば、生成演算子のエルミート共役が消滅演算子になることが簡単に確認できます。

2.生成(消滅)演算子が行列ではないと思っていること。
表現方法を変えれば、生成(消滅)演算子を行列として表すことができます。

簡単な例として、調和振動子についてみてみましょう。
調和振動子の固有ベクトルは無限次元となるため、生成演算子、消滅演算子はともに無限次元の行列となります。

一番エネルギーの低い状態をi=1,n番目の状態をi=nとして、状態{x_i}(i=1,2,3,...)というベクトルとして表現します。

生成演算子を表す行列をA=(a_ij),消滅演算子を表す行列をB=(b_ij)とすると
a_ij=(√(i-1))*δ_i,(j+1) δ_j,jはクローネッカーのδ δ_i,j=0(i≠j),1(i=j)
b_ij=(√(j-1))*δ_(i+1),j
となります。
a_ji=(√(j-1))*δ_j,(i+1)=b_ij=b_ij†　(b_ijは実数)
であることからA,Bは転置複素共役であることがわかります。

この回答へのお礼

ご丁寧な回答まことに有難うございます

お礼日時：2016/02/19 13:26

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/14 02:22

シュレディンガー式とハイゼンベルグ式があって、両者が同じということに由来するから、行列的表現が残されている。

あくまで、シュレディンガー式の表現であったとしても、それは行列的なものと等価であることをお忘れなく。