RC並列回路過渡現象について

お世話になります。
RC並列回路のパターンの過渡現象の解き方を教えて下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/09 20:17

もうひとつ別の方法。

EとR1を電流源で置き換えると
電流値=E/R1 と抵抗R1を並列に接続した
ものになります。

するとR1とR2が並列に繋がるので

これはコンデンサCに抵抗R=R1R2/(R1+R2)を
並列接続して、それに 電流値=E/R1 の
電流源を並列に繋げたのと同じです。

これをさらに、電流源を電圧源に置き換えると、
電圧値=E・R2/(R1+R2)に抵抗R=R1R2/(R1+R2)と
コンデンサCを直列接続したのと同じです。

とすると、コンデンサの電圧はvgから、上でもとめた
電源電圧へ、時定数RCで変化するので
正解は②

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/09 18:57

敢えて厳密に解かずに解いてみます(^-^;

まずv(0)=v0 が条件なので、⑤はボツ。
時間が十分にたつとCは充電され、電流がOになるので
無いのと同じになるので

v(∞)=E・R2/(R1+R2)

だから ①、④ はボツ。

残りは②、③ですが
コンデンサの両端から見た抵抗値をR
とすると、時定数はCR、減衰係数は-1/(CR)
になるはず。

R=R1R2/(R1+R2)

だから、②

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/08 01:33

No.2 です。

問題文の

　dv/dt = av + bE 　（１）

の式を無視して回答してしまいました。

　No.2で、（１）に
　　v(t) = Q/C
と書きましたので、
　　dv/dt = (1/C)dQ/dt
です。

　これを上の（１）に代入すれば
　　(1/C)dQ/dt = (a/C)Q + bE
　　dQ/dt = aQ + bEC
で、これがNo.2の微分方程式(A)に相当していることがお分かりになると思います。

　a = ( R1 + R2 ) / CR1R2
　b = 1/CR1
に相当しています。

　微分方程式の解き方は、変数が v であっても Q であっても基本的に同じです。
　結果は、多分同じになるはずです。（No.2 で計算間違いしていなければ）

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/08 01:19

これは「直流回路」なので、時間を追って考えましょう。

（１）スイッチを入れた後に、コンデンサーが充電され、その電荷をQとすると
　　　v(t) = Q/C

（２）この電圧で R2 を流れる電流は
　　　I2 = v(t)/R2 = Q/CR2

（３）R1の電圧は E - v(t) であるから、R1を流れる電流 I1 は
　　　I1 = (E - v(t)) / R1 = (E - Q/C) / R1

（４）コンデンサーの充電に使われる電流 dQ/dt と I2 の和が I1 なので、以上をまとめると
　　　Q/CR2 + dQ/dt = (E - Q/C) / R1
　これより
　　　dQ/dt = E/R1 - ( 1/CR1 + 1/CR2 )Q
　　　　　　= [ ECR2 - ( R1 + R2 )Q ] / CR1R2 　　(A)

（５）この微分方程式(A)を解きます。
　ここで
　　　ECR2 - ( R1 + R2 )Q = X
とおくと
　　　Q = ( ECR2 - X ) / ( R1 + R2 )　　(B)
　∴　dQ = -dX/( R1 + R2 )
よって(A)は
　　　-[ 1/( R1 + R2 ) ]dX/dt = X / CR1R2

　これを積分して、
　　∫dX/X = -∫[( R1 + R2 ) / CR1R2]dt
より
　　ln(X) = -( R1 + R2 )t / CR1R2 + C1
　∴　X = C2* exp[ -( R1 + R2 )t / CR1R2 ]
(B)に戻して、
　　　Q =ECR2/ ( R1 + R2 ) - C3*exp[ -( R1 + R2 )t / CR1R2 ] 　　(C)

　（１）の v(t) = Q/C より
　v(t) = ER2/ ( R1 + R2 ) + C4*exp[ -( R1 + R2 )t / CR1R2 ]　　(D)

　初期条件として、v(0) = v0 とすると、 (D)で t=0 とすると
　　　ER2/ ( R1 + R2 ) + C4 = v0
　∴　C4 = v0 - ER2/ ( R1 + R2 )

　よって
　　　v(t) = ER2/ ( R1 + R2 ) + [ v0 - ER2/ ( R1 + R2 ) ]*exp[ -( R1 + R2 )t / CR1R2 ]

　画像が不鮮明で小さい文字が読みにくいですが、選択肢の中では②でしょうか。

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/08 00:48

読めない

dv(t)/dt-av(t)-bE=0
ラプラス変換をして、

V(s)s-v0-aV(s)-bE/s=0
V(s)=(v0s+bE)/(s(s-a))

A/s+B/(s-a)
=(A(s-a)+Bs)/(s(s-a)
=(v0s+bE)/(s(s-a))

A+B=v0
-aA=bE

V(s)=-bE/as+(v0+bE/a)/(s-a)

逆ラプラス変換では
v(t)=-bE/a+(v0+bE/a)e^(at)
v(∞)が発散しないためには、aが負である必要がある。
また、最終値は-bE/a=ER2/(R1+R2)
aはCR直列回路であるため、-R1C

答えは③かな？