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No.1
- 回答日時:
このような複素積分をする場合、適当な閉じた経路での積分を考えるとよいでしょう。
次のような経路での積分を考えてみましょう。
(1)θ=x [x:-R→R]
(2)θ=R+yi [y:0→π/2]
(3)θ=x+(π/2)i [x:R→-R]
(4)θ=-R+yi [y:π/2→0]
被積分関数は複素平面上のいたるところで正則であるため(1)~(4)をすべて足し合わせると"0"になります。
(1)~(4)をR→∞としたときのどのようになるか考えてみましょう。
(1)は与式の右辺になりますね。
(3)は左辺を変数変換したものを逆向きにしたもの、つまり左辺を-1倍したものです。
(2),(4)はどうなるでしょうか。これが"0"に収束してくれれば (1)+(3)=0となり、左辺=右辺がいえます。
この積分をどう評価すればよいか。
絶対値を考えてみればよいでしょう。
複素積分においても
|∫_c f(z) dz| ≦∫_c |f(z) dz|
の関係は成り立ちます。つまり、被積分関数の絶対値を評価してしまえばよいのです。
|exp(z)|=exp( Re(z) )
ですので指数部の実数部を調べればよいということです。
あとはがんばってください。
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