最大1万円超分の電子書籍プレゼント♪

トンネル効果(一次元)で左から粒子がやってきて右へ抜ける系で

 透過率や反射率を波動関数の確率流れ密度J(x,t)=(ih/2m)(∇ψ*ψーψ*∇ψ) :(一次元) の比で求めるとき、
 波動関数がψ=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)なら確率流れ密度はJ=hk/2m(|A|^2-|B|^2)で左からAで流れてBで反射するというのはわかるんです。が、
 
 波動関数がψ=Asin(kx)+Bcos(kx)の場合(箱の中の粒子の波動関数)は、確率が外に流れ出さないからJ=0となると思ったんですが計算してみると
 J=ihk/2m(A*B-B*A)(この時点では複素数)となり、 A=a+bi、B=c+diとして計算すると
 J=hk/m(ad-bc)となり、値をもってしまうんです。

 これってどういうことでしょう?粒子が流れ出ているとしか解釈できないような気がするんですが。

 (hはすべてhバーです。書けませんでした(汗))



ψ=Asinkx + Bcoskxとおくと

A 回答 (2件)

補足に対して



ψ(x)=Aexp(kx) + Bexp(-kx)
とりあえずこの形になりますね。
ψ(0)=A + B
ψ(a)=Aexp(ka) + Bexp(-ka)

ポテンシャルV(x)=V0>Eは0<x<aの範囲ですが、
ここで、aをず~~~っと大きくしてみてください。
ψの第二項は0に収束します。
ψの第1項は指数関数的に増大します。

ポテンシャルが低いところよりも高いところの
ほうが存在確率は低くなるはずです。
つまり、粒子はポテンシャルが高いところには
なかなか入り込めないハズです。

それにもかかわらず、第1項の影響で奥へ行けば奥へ
行くほど確率振幅φが増大します。
ようするに、この第1項は数学的には解だが、
物理的には意味の無い解ということです。

結局、波動関数は
ψ(x)=Bexp(-kx)
Bは波動関数がx=0で滑らかに接続する(x=0で連続)と
いう条件から決定されるはずです。

ちなみに確率のカレントは
J(x,t)=(ih/4πm)(-kB^2exp(-2kx)+kB^2exp(-2kx))
J(x,t)=0

ポテンシャル中では確率の流れは無いってことです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

親切な回答、ありがとうございます!しっかりとわかりました!満足感たっぷりです!ありがとうございました!

お礼日時:2004/07/15 11:50

3次元にするといろいろとめんどくさいので1次元で話をする。


まず、前提が間違ってます。1次元の箱、つまり井戸型
ポテンシャル中、つまり
V(x)=0  (0<x<a)
V(x)=∞ (x<0,a<x)
の0<x<aにおいて波動関数を
ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)
とおくと、x=0,aでポテンシャルが無限大より
粒子の存在確率は0でないといけないので、
ψ(0)=0より、B=0
ψ(a)=0より、k=nπ (nは自然数)
また、∫ψ^*ψdx=1より、A=(2/a)^(1/2)

よって波動関数は、8めんどくさいのでA,kそのまま)
ψ(x)=A*sin(kx)  

確率のカレントは
J(x,t)=(ih/4πm)(ψdψ^*/dx-ψ^*dψ/dx)
    =(ih/4πm)(A^2ksin(kx)cos(kx)-A^2ksin(kx)cos(kx))
=0
となり、確立のカレント(流れ)は0になります。

この回答への補足

なぁるほど!そんな単純なミスを…恥ずかしい。親切に答えてくださってありがとうございます。
 それで補足なんですが、トンネル効果で粒子のEより高いポテンシャルVo(0<x<a)の中での波動関数は シュレーディンガー方程式より
   dψ/dx=4πm/h (Vo-E)ψ = k^2ψ となり
ψ=Aexp(kx) + Bexp(-kx) となるんですがこの時はx=0、x=aでの境界条件があってもA,Bは0にならずに  J=ihk/2m(A*B-B*A)となってしまいますよね。この時は流れていると思っていいんでしょうか?

補足日時:2004/07/14 13:49
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング