大学 計測工学 測定誤差の問題 教えてください q=×^2の相対誤差は，Δq/q = 2•Δx/x

大学 計測工学 測定誤差の問題
教えてください

q=×^2の相対誤差は，Δq/q = 2•Δx/xと考えるべきか，q =x·xよりΔq/q＝ √{(Δx/x)^2+(Δx/x)^2}＝√2・Δx/x
と考えるべきか、根拠を示して求めよ

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/10 20:32

No.3です。

ついでに、定性的な説明も。

q = x1 * x2
で、x1、x2が独立でランダムであれば、「一方が上に誤差のとき、他方は下に誤差」というように、「相互に誤差が相殺する方向にばらつく」こともあり得るので、前者の式の係数「２」に対して、「√2」と誤差は小さくなります。

これに対して、問題の
q = x^2
の場合には、「ｘが上に誤差のとき、掛け合わせる x も必ず上に誤差」「ｘが下に誤差のとき、掛け合わせる x も必ず下に誤差」というように、「ばらつきは常に同一方向で、相殺されることがない」ので、上記のような「独立変数の積」の場合に比べて誤差が大きくなります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/10 20:20

No.1です。

失礼しました、質問は「質問者さんの疑問」ではなく、出題された問題なのですね。

いずれにせよ、使うべきは「前者」です。

x がランダムで、真値 x0 に対して Δx の誤差を持つ場合、
　　x = x0 ± Δx
なので
　　q = x^2 = (x0 ± Δx)^2
　　　= (x0)^2 ± 2(x0)(Δx) + (Δx)^2
になります。

同様に
　　q = q0 ± Δq
と書いて
　　q0 = (x0)^2
とすれば
　　Δq = 2(x0)(Δx) + (Δx)^2
です。

従って、相対誤差は
　　Δq/q0 = [ 2(x0)(Δx) + (Δx)^2 ] / q0
　　　　　 = [ 2(x0)(Δx) + (Δx)^2 ] / (x0)^2
　　　　　 = 2Δx/x0 + (Δx/x0)^2
Δx/x0 << 1 なので (Δx/x0)^2 は無視できるほど小さいので
　　Δq/q0 ≒ 2Δx/x0

これが前者ですよね。

公式を使えば
　　Δq = (∂q/∂x)Δx
ですぐ求まりますが。

No.2 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/05/10 05:46

後者・・・公式にあてはめればよい。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/09 20:01

質問者さんは、変数 X1 と変数 X2 から計測値が Z = X1・X2 となるときの「誤差伝播の公式」から、第2の式を考えていますよね？　

↓　下記でいえば 3) の場合
http://www.nagaoka-ct.ac.jp/~araki/s/denpa.html

　この場合には、変数 X1 と変数 X2 とが各々「独立」であって、個別に「ランダムな誤差を持つ」ことが前提です（例えば、タテの長さ X1、横の長さ X2 を各々計測して、長方形の面積 Z を求める場合）。
　お示しの問題の場合には、変数「 x 」は一つですから、この前提は成立しません。

　「公式の丸暗記」ではなく、この公式の意味をきちんと理解していれば、そんな疑問はわかないと思います。

　第1の式も、「公式により」ではなく、きちんとそうなる根拠を示してお答えください。頑張って。