3以上9999以下の奇数aで、(a^2)-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。
という問題を
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9298935.html
の#1で出してもらって、答えたのですが返事がありません。以下のように答えたのですがあってますか?
=============================
題意のaについてa:=2m+1(mは1≦m≦4999なる整数)
(a^2)-a=a(a-1)=(2m+1)2m
∴(a^2)-a≡0(mod10000)⇔m(2m+1)≡0(mod 5000)…①
また、5000=(2^3)*(5^4) これと2m+1が奇数ゆえm≡0(mod 8)
そこでm:=8t (tは1≦t≦624なる整数…★)
すると①⇔8t(16t+1)≡0(mod 5000)⇔ t(16t+1)≡0(mod 625)…②(625=5^4)
ここで(mod 5)におけるtと16+1の対応は
t 16t+1
--------
0 1
1 2
2 3
3 4
4 0
ゆえに16t+1が5の倍数になるのはt≡4(mod 5)のときだけ。
以下16t+1が5の倍数にならないかなるかで場合わけする
(i)16t+1が5の倍数にならない時
②⇔t≡0(mod 625)だが1≦t≦624(★)ゆえ矛盾
(ii)16t+1が5の倍数になる時
前述のようにt≡4(mod 5)
そこでt=5k+4(★よりkは0≦k≦120なる整数)
このとき、②⇔(5k+4){16(5k+4)+1}≡0(mod 625)
⇔(5k+4)(16k+13)*5≡0(mod 625)
⇔(5k+4)(16k+13)≡0(mod 125)
⇔16k+13≡0(mod 125)…③
(mod 5)におけるkと16k+13の対応は(16k+13≡k+3(mod 5)を考慮すると)
k 16k+13
------
0 3
1 4
2 0
3 1
4 2
よってk≡2(mod 5)が必要。
そこでk:=5n+2(nは0≦n≦23なる整数)
③⇔16(5n+2)+13≡0(mod125)
⇔5(16n+9)≡0(mod 125)
⇔16n+9≡0(mod 25)・・・④
(mod 5)におけるnと16n+9の対応は(16n+9≡n+4(mod 5)を考慮すると)
n 16n+9
--------
0 4
1 0
2 1
3 2
4 3
よってn≡1(mod 5)が必要。nは0≦n≦23なる整数だったので、
nの候補は、1,6,11,16,21
このうち④を満たすのはn=1のみ。
よって、n=1⇔k=7⇔t=39⇔m=312⇔a=625
A. 625 //
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(a^2)-a=(a-1)a は (2^4)(5^4) の倍数。
a-1 は偶数で a は奇数。
a-1 と a は互いに素なので a は 5^4=625 の倍数。
624 は 2^4 の倍数なので、625 は答の一つ。
次に条件を満たすのは (2^4)(5^4) を足した数なので、9999を超える。
よって、答は 625 の一つ。
「互いに素」という条件は使うべきだと思う。
No.2
- 回答日時:
おはようございます。
僕のことですね。お礼を見ていませんでした。申し訳ございません。
合同式を利用して解いたのですね。僕は採点できる程の者ではないのですが、答案を一通り見た感じ間違ってはいないと思います。僕は、特殊解を使って解きました。
実はこれは、東大2005年度の文理共通問題で、算数、つまり小学生にも解けるという問題です。
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