角運動量についてです 慣性モーメント×角速度 運動量×垂直の長さ この二つの式の違いは何でしょうか？

角運動量についてです
慣性モーメント×角速度
運動量×垂直の長さ
この二つの式の違いは何でしょうか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/29 19:50

質量 m の質点が、半径 r で角速度 ω で円運動しているときの角運動量は

　　L = mr^2 ω　　　（１）
です。慣性モーメントを
　　I = mr^2 　　　(A)
と書くと
　　L = Iω　　　　（１’）
です。

　半径 r で角速度 ω で円運動しているときの周速度は
　　v = rω
ですから、（１）は
　　L = mrv
と書けます。このとき
　　p=mv
と書けば、p は質点の運動量なので
　　L = rp　　　（２）
と書けます。

　質問の内容は、この（１）（あるいは（１'））と（２）の等価性ですよね？　上記のように、質点の運動の場合には等価です。

　ただし、これは「質点の運動」であって、「質量 m、半径 R の円板」の円運動を考えると、円板の半径によって r も p も変化します。面密度を ρ = ｍ/(2パイr^2) として、半径 r ～ r+dr の円環の質量は 2パイrdr*ρ なので、この部分の周速度 rω に対する運動量は
　　p = 2パイrdr*ρ * rω
であり、角運動量は
　　ΔL = rp = r * 2パイrdr*ρ*rω = 2パイ(r^3)ρωdr
従って、円板全体の角運動量は、
　　L = ∫[0→R]ΔL
　　　= ∫[0→R]2パイ(r^3)ρωdr
　　　= 2パイρω[ r^4 /4 ][0→R]
　　　= パイρωR^4 /2
ここで、パイR^2*ρ=m なので
　　L = mωR^2 /2　　　　（３）
となります。

　（１）式で、質点が半径 R で円運動するときの 1/2 であることが分かります。
　これが「質点」と「円板」の違いです。「質点」を円板の面積全体（正確にいえば体積全体）で積分したものが「円板」ということです。

　何故こうなるかといえば、円板の場合の慣性モーメントが(A)ではなく
　　　I = mR^2 /2　　　　(B)
だからです。
　円板の慣性モーメントの求め方は、下記などを参照してください。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/34.html

　質問者さんの疑問は、この「質点と円板の違い」なのでしょう？

No.2 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/07/27 22:54

全く関係ない。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/07/26 12:34

質点の原点に対する角運動量のことですよね？

数学的に全く同じものです。

質点の重さを m, 質点の速度ベクトルと位置ベクトルをv, r 。
外積 r x v 方向の単位ベクトルを n とすると、r とvのなす角度をθ
とすると
質点の運動量は mv なので

運動量の絶対値 |p|=m|v|
角速度の絶対値 ω=|v|/(rsinθ)
慣性モーメント I=m(|r|sinθ)^2
垂直の長さ(質点の軌道と原点との最短距離) R= |r|sinθ


を考慮すると

角運動量 L = r x mv = m|v||r|sinθ・n = |p|R・n　①
=m(|r|sinθ)^2・{|v|/(rsinθ)}・n
=Iω・n ②

①のベクトルの大きさが「運動量×垂直の長さ」
②のベクトルの大きさが「慣性モーメント×角速度」