![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
添付画像の問題の解き方を教えていただけないでしょうか.
# 文字に起こしたものも書いておきます.
【問】m, n, p, qは正の整数で,p, qは互いに素であるとする.
2 + 1/(m + 1/(n + 1/5)) = q/p かつ q - p = 432
が成り立つとき,m, n, p, qを求めよ。
私のアプローチとしては,とりあえず連分数を普通の分数に直していきました.
2 + 1/(m + 1/(n + 1/5))
= (10mn + 2m + 5n + 11)/(5mn + m + 5)
ここで,整数kを用いて以下のように表すことができる.
q = k(10mn + 2m + 5n + 11)
p = k(5mn + m + 5)
∴ q-2p = k(5n + 1)
と,次数の高いmnを消去することはできたのですが,ここで止まってしまいました.
この後の進め方,あるいは別解がございましたら,教えていただけないでしょうか.
よろしくお願いいたします.
![「【整数問題】連分数」の質問画像](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/9/1209040_57a8895c677a8/M.png)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.2です。
式の引用番号が違っているので、訂正して全文再掲します。q = k(10mn + 2m + 5n + 11)
p = k(5mn + m + 5)
∴ q-2p = k(5n + 1)
とありますが、p、qは互いに素なので、1以外の共通の約数 k は持ち得ません。
従って、k=1 しかあり得ず
q = 10mn + 2m + 5n + 11 ①
p = 5mn + m + 5 ②
∴ q - 2p = 5n + 1 ③
が成立します。
これに、
q - p = 5mn + m +5n + 6 = 432 ④
も加わりますね。
④-③ より
p = 432 - (5n + 1) = 431 - 5n ⑤
④ に代入して
q = 432 + p = 863 - 5n ⑥
ただし、③④では、未知数3個(p, q, n)に対して方程式が2個ですから、値が確定しません。
ここでは、④より
5n(m + 1) + m + 1 - 427 = 0
(5n + 1)(m + 1) = 427
ここで
427 = 7 * 61
なので、
5n + 1 = 61
m + 1 = 7
という組合せしかあり得ないので
n = 12
m = 6
が確定する、というのが突破口でしょう。
あとは、①②から
p = 371
q = 803
No.4
- 回答日時:
p, q の方に k がかけらる形にならないことは大丈夫ですよね?
同じことだけど
2 + 1/(m + 1/(n + 1/5)) = q/p かつ q - p = 432
1/(m + 1/(n + 1/5)) = (q - 2p)/p かつ q - p = 432
m + 5/(5n + 1) = p/(q - 2p) かつ q - p = 432
5 と 5n + 1 は互いに素、p と q が互いの素だから q - 2p と p は互いに素。
からもって行くのはどうですかね。
No.2
- 回答日時:
q = k(10mn + 2m + 5n + 11)
p = k(5mn + m + 5)
∴ q-2p = k(5n + 1)
とありますが、p、qは互いに素なので、1以外の共通の約数 k は持ち得ません。
従って、k=1 の
q = 10mn + 2m + 5n + 11 ①
p = 5mn + m + 5 ②
∴ q - 2p = 5n + 1 ③
が成立します。
これに、
q - p = 5mn + m +5n + 6 = 432 ④
も加わりますね。
②-① より
p = 432 - (5n + 1) = 431 - 5n ⑤
② に代入して
q = 432 + p = 863 - 5n ⑥
ただし、③④では、未知数3個(p, q, n)に対して方程式が2個ですから、値が確定しません。
ここでは、④より
5n(m + 1) + m + 1 - 427 = 0
(5n + 1)(m + 1) = 427
ここで
427 = 7 * 61
なので、
5n + 1 = 61
m + 1 = 7
という組合せしかあり得ないので
n = 12
m = 6
を求まめる、というのが突破口でしょう。
あとは、①②から
p = 371
q = 803
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